ходимая для приведения сферы в движение со скоростью V в направлении, перпендикулярном границе, будет с большой степенью точности равняться

8h3j ]

где М'-масса вытесненной жидкости. Найти также величину импульса на плоской границе.

17. Сфера радиуса а движется в полубесконечной жидкости, имеющей плотность Q и ограниченной плоской стенкой; центр сферы находится на большом расстоянии h от стенки. Показать, что если сфера движется относительно стенки со скоростью V под углом а, то кинетическая энергия жидкости приближенно равна

18. Жесткая плоскость бесконечного размера разделяет на две части неограниченную-жидкость. Некоторая сфера движется в направлении, перпендикулярном к этой плоскости. Объяснить из общих соображений эффект образования в этой плоскости кругового отверстия с центром на линии, вдоль которой движется сфера. Рассмотреть случай, когда скорость сферы направлена к плоскости и когда скорость направлена от плоскости.

19. Две одинаковые сферы радиуса а находятся неподвижно в потоке со скоростью U, перпендикулярной линии центров; расстояние между центрами сфер равно d. Показать, что скорость в средней точке, на линии центров, приближенно равна

и

Найти скорость в случае, когда поток направлен параллельно линии центров.

20. Две сферы радиусов а я b находятся на расстоянии с и окружены жидкостью. Первая сфера движется со скоростью U по направлению ко второй сфере. Показать, что вторая сфера начнет двигаться со скоростью, приближенно равной А/В, где

А=иМ, . = М+1л,(1-Ь?У).

21. Сфера радиуса а погружена в жидкость плотности Q, ограниченную только одной бесконечной плоской стенкой. Эта сфера движется со скоростью U перпендикулярно стенке, которая находится на расстоянии с от центра сферы, причем с велико по сравнению с а. Пренебрегая величинами а*/с*, доказать, что потенциал скорости в непосредственной окрестности сферы выражается формулой

<P=4t/a3[(l + g)/r2+l]cos9,

где л-радиус-вектор точки, измеряемый от центра сферы, а в-угол, который радиус-вектор г образует с направлением движения сферы.

Вычислить приближенно кинетическую энергию жидкости.

22. Сфера радиуса а движется со скоростью V параллельно неподвижной стенке; стенка расположена на расстоянии с от центра сферы. Показать, что в окрестности сферы потенциал скорости приближенно равен

f = VY У [(1+аЗ/16сЗ)/гЗ+1/л'3],

где г и г' -расстояния от центра сферы и от ее отображения относительно стенки соответственна, а у измеряется параллельно направлению движения. Вычислить с той же степенью точности давление на сфере.

23. Мина находится на расстоянии а от плоской бесконечной стенки и на глубине b от поверхности покоящейся воды, которая простирается до бесконечности как в глубину, так и в сторону от стенки. Мина взрывается симметрично. Если Е - полная энергия, выделившаяся при взрыве мины, то вычислить нормальную составляющую скорости в произвольной точке свободной поверхности непосредственно после взрыва, а также нормальное импульсивное давление в произвольной точке на стенке.

24. Сфера радиуса а движется со скоростью и перпендикулярно неподвижной плоскости, которая ограничивает область, занятую однородной невязкой жидкостью. Показать, как определить потенциал скорости движения, когда центр сферы находится на расстоянии с от плоскости.

Доказать, что кинетическая энергия жидкости при этом равна

3 2-ао

где

ай = аЬс

аЬс V, du

(a2-}- )V2(62 )V2(c2 )V2-

29. Эллипсоид л;2/а24-у2/б2 22у(;2- 1 расположен в равномерном потоке, движущемся параллельно оси х. Доказать, что линии постоянного давления на эллипсоиде являются линиями пересечения этого эллипсоида с конусами i/2/62 j-22/c2 = x2 i2, где/г - произвольная постоянная.

30. Поток бесконечной глубины, дном которого служит плоскость z = 0, имеет скорость и, параллельную оси х; этот поток возмущается только препятствием, имеющим форму верхней половины эллипсоида. Если % - положительный корень уравнения

(эллипсоид определяется равенством Я, = 0), то показать, что потенциал скоростей движения рассматриваемого течения равен

. ? du

] (а24-и)/2 (62 )1/2 (c2 + )V2

где

где Л1 -масса жидкости, вытесненной сферой, а

}хо=-- аз, fin=(Xn-i(Pn/?nP,

где Рп1Яп является подходящей дробью я-го порядка для непрерывной дроби

а а2 2с- 2с- 2с- ... ♦

у которой все неполные частные (кроме первого) равны -а2/2с.

25. Два одинаковых круговых цилиндра радиуса а расположены неподвижно на расстоянии d между их центрами в равномерном потоке, скорость которого V направлена перпендикулярно линии центров. Получить приближенно выражение для скорости, предполагая, что отношение aid мало. Показать, что скорость в средней точке на линии

/ а2

центров с высокой степенью точности равна V ( l-f-S

26. Пространство между длинным твердым цилиндром радиуса а и концентрической оболочкой радиуса b заполнено однородной жидкостью. Найти скорость движения жидкости, когда цилиндр и оболочка имеют соответственно скорости U л V, перпендикулярные к общей оси тел и одинаково направленные.

Когда эта система покоится, оболочке сообщается импульс, который заставляет ее

двигаться со скоростью V. Найти скорость цилиндра в начальный момент и показать, что скорость движения жидкости в начальный момент выражается в виде

УЬЧ^{а^-г'-а{а^А-г^) г е(62+а2)4-а(62 а2)=°

где Q и а-плотности жидкости и цилиндра соответственно.

27. Круглое отверстие радиуса а в стенке большого сосуда, заполненного жидкостью плотности е, закрыто поршнем с плоским днищем, расположенным вровень со стенкой. Поршень мгновенно двигается внутрь сосуда со скоростью U. Показать, что импульсивное давление Р на стенке выражается в виде

jlfl, 12.32... (2fe-3)2a2fe

V2 г +22.4 гз---+ 22.42... (2А - 2)22йг2-1

где г - расстояние рассматриваемой точки от центра отверстия.

28. Эллипсоид с полуосями а, Ь, с движется со скоростью V через безграничную жидкость, покоящуюся на бесконечности; скорость направлена вдоль оси эллипсоида, имеющей длину 2а. Найти потенциал скорости этого движения и показать, что на большом расстоянии это движение соответствует действию диполя, расположенного в центре эллипсоида и имеющего ось и мощность, определяемые выражением

Доказать также, что скорость в точках на поверхности тела, лежащих в сечении л = 0, равна 2[ (2-ао).

31. Жесткий эллипсоид с полуосями а, Ь, с движется со скоростью, составляющие которой и, V параллельны осям а, b соответственно. Показать, что для создания такого движения требуется пара с моментом относительно оси с, равным

ЪлдаЬс фр-ар) UV 3(2-ао)(2-Ро)

причем за положительное направление отсчета момента принимается направление от оси а к оси Ь.

32. Область вне эллипсоида

д:2/а2+(/2/Ь24-22/сг=1

занята жидкостью, которая покоится на бесконечности. Эллипсоид вращается с угловой скоростью (О относительно оси ;с. Найти потенциал скоростей и показать, что кинетическая энергия жидкости равна

1 (6-c)(Yo-Po) 2

10 2 (б2 с2) (б2 + с2) (Yo-Po)

где

о

УИ-масса жидкости, вытесненной эллипсоидом. Найти далее эффективный момент инерции эллипсоида.

33. Показать, что когда круглый диск радиуса а вращается относительно своего диаметра в жидкости, покоящейся на бесконечности, то кинетическая энергия жидкости равна 865(02/45, где ш-угловая скорость вращения диска, а q -плотность жидкости.

34. Найти единственные решения уравнения Лапласа в эллипсоидальных координатах Я, \i, V, которые не зависят от ц и v.

Оси эллипсоида, расположенного в безграничной жидкости, изменяются со временем так, что эллипсоид остается подобным самому себе. Доказать, что

(f= -- abc{a/a->[-b/b-\-c/c)

, /{а2 + Я){62 + Х)(с2+Я)

35. Доказать, что если решение уравнения Лапласа в эллипсоидальных координатах X, \1, V имеет вид произведения L-M-N, то тогда одно возможное значение L удовлетворяет уравнению вида

(а^+Х) (62+Я)2 (сгя)2.

Найти второе решение, зависящее от Я и удовлетворяющее дифференциальному уравнению для Я в этом случае, и получить затем три решения уравнения Лапласа в следующей форме: xyz-F, где F - функция, зависящая только от Я, или от [х, или от v.

36. Показать, что если Я - корень уравнения

х2/(а2+Я)+г/2/(б2+Х)+г2/(с2+Я) = 1, то тогда L = (а2-j-Я), является решением уравнения

±d-.AX4-B Tdai-~ +

где da = dX/y(ai-\-X)(b-{-X) (с2-1-Я), А и В имеют фиксированные значения.

Доказать также, что для других значений А н В функции {b-{-Xf и (с2--Я) являются также решениями, но что нельзя получить решение вида

1 = р{а^+к)+д(Ь^ + Х)У^ + г (с2 + Я)*/2,

где ни одна пара величин р, q п г не обращается в нуль, если величины а, b и с отличны друг от друга.

37. Эллипсоидальный сосуд с полуосями а, Ь, с, заполненный невязкой жидкостью плотности Q, вращается относительно оси х с угловой скоростью ш. Доказать, что скорости в любой точке жидкости выражаются в виде = 0, v = Cz, w = Cy и определить С.

т = 2аЬс

L а2 (62 с2)2 62 (с2 4- а2)2 2 (а2 + 62)2 J

39. Тонкая эллипсоидальная оболочка с полуосями а, 6, с, заполненная жидкостью плотности е, вращается относительно оси с с угловой скоростью (о. Найти потенциал скоростей движения и показать, что кинетическая энергия равна

2 яеа6с(а2-62)2 15 а2+62

40. Эллипсоидальная оболочка, заполненная жидкостью, равномерно вращается относительно некоторого заданного диаметра. Доказать, что траектория каждой частицы жидкости относительно эллипсоида будет эллипсом, плоскость которого является сопряженной заданному диаметру, и что каждая частица будет двигаться по своей эллиптической орбите так, что радиус-вектор, проведенный из центра орбиты, будет описывать равные площади в равные промежутки времени.

41. Оси эллипсоида, который заполнен жидкостью, изменяются во времени таким образом, что объем эллипсоида остается постоянным. Доказать, что потенциал скорости жидкости равен

ф= (ах/а+Ьу/Ь+сг/с}/2.

42. Даны соотношения

j: = a(cha4-cosp-ch у), i/ = 4ach-2 acosyPsh-g-y, г =4ash у а sin у р ch у у;

преобразовать уравнение неразрывности к виду

(cos p+chy) g+(chY+cha)p4-(cha-cosp)=0

и показать, что поверхности, на которых а, р и у постоянны, являются софокусными параболоидами.

Показать далее, что потенциал скоростей неограниченной жидкости, обтекающей заданный гиперболический параболоид Р = Ро со скоростью V, параллельной на бесконечности оси X, выражается в виде (р = К(х-ар sin Ро); записать соответствующие выражения для потенциала ц>, когда заданная поверхность представляет собой эллиптический параболоид а=ао или у = \о-

43. Бесконечная масса жидкости имеет в качестве свободной поверхности плоскость 2 = 0. Пусть к этой поверхности приложено импульсивное давление (й = (0о sin тл; sin тг/; показать, что возникающее при этом движение описывается потенциалом скоростей Q(p = (o7exp [ - г (m2-j-a2)*/2], где г - координата в жидкости.

44. Прямой круговой конус имеет высоту h и радиус основания h \2 . Масса жидкости такой формы движется параллельно оси со скоростью V. Затем основание конуса ударяется о некоторую неподвижную плоскость. Принимая в качестве неподвижной плоскости плоскость ху, а центр основания конуса в качестве начала координат, доказать, что потенциал скорости сразу после удара равен V (2г^-х^-у^)/(Щ, импульсивное давление жидкости равно [2 (z-Л)2-х2-j/2]/(4/i), а импульс, действующий на плоскость, составляет 3/ той величины импульса, которой обладал бы конус, если бы он был твердым и имел ту же массу.

45. Показать, что любое безвихревое движение однородной жидкости, которая движется в односвязной области, ограниченной изнутри некоторой замкнутой поверхностью, и покоится на бесконечности, может рассматриваться как движение, вызванное источниками и диполями, распределенными по этой поверхности. Объяснить, каким образом можно обойтись без рассмотрения источников или диполей.

Сфера радиуса а деформируется так, что через малый промежуток времени t уравнение ее поверхности имеет вид r = a-j-(cos 6). Определить на этой поверхности такое распределение источников или диполей, которое будет создавать тот же потенциал скоростей.

46. Безвихревое движение однородной несжимаемой невязкой жидкости вне некоторой замкнутой поверхности S вызывается движением поверхности 5 с заданной в любой точке S составляющей скорости q по направлению внешней нормали. Обозначим через Ф потенциал скорости, который создается диполем единичной мощности, имеющим ось, параллельную оси X, и расположенным в некоторой точке Р вне поверхности S (которая предполагается фиксированной). Доказать, что составляющая скорости по направлению оси х в точке Р, вызванная движением поверхности S со скоростью q, равна

38. Эллипсоид заполнен жидкостью и имеет относительно своих осей составляющие скорости и, V, W, (Oi, щ, щ. Показать, что траектории частиц относительно эллипсоида представляют собой эллипсы, а период вращения равен 2я/т, где

Глава 17

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

17.10. Движение твердого тела в жидкости. Рассмотрим неподвижное твердое тело S , погруженное в покоящуюся неограниченную жидкость. Если твердое тело каким-либо образом пришло в движение, то возникающее в результате движение жидкости будет безвихревыми ациклическими. Кроме того, такое движение, однажды возникнув, мгновенно прекратится (см. п. 3.77, теорема VI), как только твердое тело снова вернется в состояние покоя. Мы будем рассматривать лишь такие движения жидкости, которые вызываются только движением тела при вышеуказанных условиях. В таком движении давление жидкости на поверхности тела является конечным, и, следовательно, чтобы вызвать данное движение тела, требуется конечное количество энергии, которая распределяется между телом и жидкостью. Таким образом, кинетическая энергия здесь будет конечной величиной, и, значит, скорость жидкости на бесконечности должна обращаться в нуль. Следовательно, потенциал скорости ф должен удовлетворять условиям

У^Ф=0 во всей жидкости,

Уф = 0 в жидкости на бесконечности.

Для того чтобы записать условия, которые должны выполняться на границе тела, возьмем некоторую систему координат R, неподвижную относительно тела, например поместим начало координат в некоторой точке О' тела и проведем три оси декартовых координат О'х, О'у, Oz. Тогда движение тела определяется скоростью и начала координат и угловой скоростью о. Следовательно, в точке с радиусом-вектором г на поверхности тела скорость равна U 4- о X г, и, если п - единичный вектор внешней нормали к поверхности тела в этой точке, то, воспользовавшись смешанным произведением трех векторов (п. 2.13), можно записать граничное условие в виде

- = n(u+<oxr) = un-f <о(гх п). (2)

Это условие можно удовлетворить, полагая

Ф = иф + <0Х' (3)

где Ф и X - векторы, проекции которых на оси декартовой системы координат являются решениями уравнения Лапласа, причем градиенты этих векторов на бесконечности стремятся к нулю; векторы ф и удовлетворяют следующим граничным условиям:

Следовательно, векторы ф и х зависят только от формы тела, но не зависят от его движения.

Несколько частных случаев определения ф были нами уже рассмотрены, например в случаях движения сферы и эллипсоида. Мы приступим теперь к исследованию движения твердого тела с помощью метода, в котором сущест-

и, следовательно,

(S) (S)

Но поскольку составляющие вектора ф удовлетворяют уравнению Лапласа, то по теореме Грина [см. (2) п. 2.62] получаем

(S) CS) (S)

причем здесь использовано условие (4) п. 17.10. Таким образом, мы получим первую из нижеследующих формул:

=е5пф5, =q5 (гхп)ф^5. (3)

(S) (S)

Вторая из формул (3) получается аналогичным способом.

Если бы движение возникло под действием импульсов (см. п. 17.31), то тогда интегралы в правой части формул (3) представляли бы собой импульс и импульсивный момент, которые действуют со стороны тела 5 на жидкость, примыкающую к поверхности тела.

Если воспользоваться координатной формой записи, например декартовыми координатами, то приведенное выше выражение (1) для кинетической энергии будет, как в этом можно убедиться, включать 21 член, содержащий квадратичные комбинации пар из шести составляющих векторов цию.

Если в формулах (3) взять Яи и Яю вместо и и <о, то в этих формулах появится сомножитель Я. Таким образом, частные производные от кинетической энергии являются однородными линейными функциями векторов U, <о.

В декартовых координатах имеем

u = \Ux + iUy + ku to = icojc + jcoj,-Ь kffli,

венной чертой является рассмотрение тела и жидкости как единой системы. Тогда силы давления на границе окажутся внутренними силами и их определение не является необходимым.

17.20. Кинетическая энергия жидкости. Используя граничные условия (2) и(3)п. 17.10, для кинетической энергии жидкости получим следующее выражение:

Tl=-q \ ifdS=±Q (u(p-l-o)x)[n(u + xr)]dS, (1)

(S) (S)

причем интеграл здесь берется по поверхности тела.

Это выражение показывает, что Tl является однородной квадратичной функцией векторов и, ©. Поэтому если Я -некоторый скаляр, то при замене U, о> на Ы, Яо> величина Tl заменяется просто величиной %Tl. Тогда по теореме Эйлера для однородных функций (п. 2.71) имеем

Снова, воспользовавшись уравнениями (2) и (3) п. 17.10, получим

= J a(u + <oxr)dT = Ms, (3)

J arX(u+<oXr)dT=Hs. (4)

dii>

Если г = ri, + rs -полная кинетическая энергия системы, то в результате комбинации формулы (2) этого пункта и формулы (2) п. 17.20 получаем уравнение

дТ , дТ от

ди а©

17.30. Динама. Система сил, являющихся скользящими векторами, приложенными в заданных точках тела, имеет в качестве результирующих главный вектор F, приложенный в некотором выбранном центре приведения О, и главный момент L. Сила F является скользящим вектором, действующим по направлению, проходящему через точку О; она получается в результате векторного суммирования в точке О векторов, равных и параллельных заданным силам. Таким образом, величина и направление силы F не зависят от положения центра приведения О.

С другой стороны, главный момент L представляет собой сумму моментов относительно О заданных сил, и, следовательно, его величина и направление зависят от положения центра приведения О; главный момент L является свободным вектором. Пара векторов (F, L) называется динамой сил. Для того чтобы две динамы сил были равны, должны равняться как их главные векторы, так и их главные моменты, которые относятся при этом к одному и тому же центру приведения. Соответствующим выбором центра приведения О можно добиться того, чтобы ось главного момента L стала параллельной главному вектору F. Линия, по которой будет тогда направлен скользящий вектор F, называется центральной осью. Такое приведение единственно, и если при этом соответствующий главный момент обозначить через Г, то F х Г = 0.

Точно таким же путем система импульсов, являющихся скользящими векторами, приводится к нлтг/угьсивной5инал1е(, I), где - векторная сумма импульсов, а к - векторная сумма их моментов относительно центра приве-

отсюда, согласно п. 2.71, получим

ди ~ ди т - auj,

да д(йх да>у 3(0

17.21, Кинетическая энергия тела. Кинетическая энергия тела определяется выражением

Ts = \\ о1и+(<охг)]Мт, (1)

причем интеграл берется по всему объему тела V, а а представляет собой плотность тела, которая может быть постоянной или переменной. В декартовых координатах это выражение содержит 10 независимых коэффициентов. По теореме Эйлера

+ = 2- (2)

По формуле (1) мы сразу получаем количество движения и момент количества движения тела, а именно

дения. Аналогично можно рассматривать динаму количества движения (М, Н), если привести скользящие векторы количества движения к одному скользящему вектору количества движения М и вектору момента количества движения Н.

17.31. Импульс. Если задано движение тела S в неограниченной жидкости, то движение жидкости определяется, и притом однозначно, только движением тела; потенциал скоростей ф при этом также определяется однозначно (см. п. 3.77, теорема VII), если не принимать во внимание несущественную аддитивную постоянную. Движение жидкости, которое фактически существует в некоторый момент времени t, можно создать мгновенно из состояния покоя, приложив к телу соответствующую импульсивную динаму. Эта импульсивная динама должна быть выбрана таким образом, чтобы мгновенно создать у тела такую динаму количества движения, которая фактически существует в момент времени t, и чтобы погасить совершенно определенную импульсивную динаму, которая создается на границе тела импульсивным давлением дф жидкости (см. п. 3.64).

Импульсивная динама, прилагаемая таким образом к телу для создания движения из состояния покоя, называется импульсом системы в рассматриваемый момент времени.

17.32. Скорость изменения импульса. Вместо движущейся системы отсчета R с началом в точке О', зафиксированной относительно тела 5 (рис. 317), мы будем в этом пункте рассматривать систему отсчета R с началом в точке О, неподвижную в пространстве (см. п. 3.55). Скорость изменения во времени относительно этой системы отсчета R будем обозначать через d/dt. Докажем, что если (I, я) - импульсивная динама, определенная в п. 17.31, а (F, L) - динама внешних сил, приложенных к телу, причем обе эти динамы отнесены к одному центру приведения, то

Рис. 317.

= F,

= L.

Доказательство. Представим себе некоторую замкнутую поверхность Е, неподвижную в пространстве и содержащую внутри тело 5. Эта поверхность рассматривается чисто геометрически и не является какой-либо материальной границей при движении жидкости. Пусть динама количества движения (Me, We) определяет количество движения системы 2£, состоящей из тела и жидкости, находящейся внутри поверхности Е в момент времени t. Если предположить, что движение тела и неограниченной жидкости, которое фактически существует в момент времени t, создается мгновенно из положения покоя, как это описано в п. 17.31, с помощью импульса (, %), приложенного к телу, то во всей жидкости будет существовать импульсивное давление дф; следовательно, внешний импульс, действующий на систему 2 е, будет состоять только из динамы (,я) и импульсивного давления дф на поверхности Е. Итак, эти импульсы создают динаму количества движения (Мя, Ня). Следовательно, если п - единичный вектор внешней нормали к элементу dS, то

I - пеф d5 = Me, я - (г X пбф) dS = Щ,

(В) (£)

-L = e 5 [l(rXn)c/-(nq)(rXq)] dS. (4)

Поскольку левые части этих уравнений не зависят от Е, то интегралы в правых частях уравнений также не зависят от частного вида замкнутой поверхности Е^). Для доказательства равенств (1) примем, что все точки поверхности Е находятся на бесконечно большом расстоянии от тела, тогда эти интегралы обратятся в нуль 2). Отсюда сразу следует справедливость равенств (1).

Из формулы (3) п. 3.75 следует, что в любой точке Р внутри жидкости имеет место соотношение

(S) (S)

где г-расстояние от точки Р до элемента dS поверхности тела, по которой вычисляются эти интегралы.

Для точек Р на большом расстоянии R от начала О можно положить r = R + s, где s/i?- бесконечно малая величина, поэтому приближенно получим

J J s J J 2s

r R Ri ri Ri Rs

Заметим, что в силу уравнения неразрывности ~- dS = 0. Поэтому

потенциал фр имеет порядок

А ,

ФР = С +

1) Эта независимость также следует из п. 3.63.

2) Необходимо отметить, что мы не утверждаем, что эти интегралы равны нулю в пределе, а лишь говорим, что они равны постоянной. Но из предельного поведения этих интегралов на бесконечности следует, что эта постоянная равна нулю.

причем второй интеграл здесь представляет собой момент импульсивной силы давления относительно точки О.

Уравнение для давления имеет вид

причем постоянное давление С на границе не оказывает влияния. Тогда уравнения движения системы запишутся в виде

F- 5 п (е -le d5 = + 5 eq (nq) dS,

(£) (e)

L-J (rXn)(e--le9)d5 = + 5 Qrxq(nq)d5,

(E) (E)

причем интегралы в правой части представляют собой соответственно потоки количества движения и момента количества движения через поверхность Е (см. пп. 3.40, 3.42). Исключив отсюда и с помощью уравнения (2), получим уравнения

f-F = Q5 [jn9-(nq)q]dS, (3)

dl , Г Г 1

Рис. 318.

обе эти величины рассматриваются относительно неподвижной системы координат R. Рассмотрим изменение векторов , к за малый промежуток времени dt. Поскольку этот промежуток является бесконечно малым, можно отдельно рассматривать поступательное перемещение начала и dt, поворот системы координат <о dt и изменение векторов , % за промежуток dt, каким оно представляется наблюдателю, движущемуся с системой координат R, а затем сложить эти результаты.

При рассмотрении влияния поступательного перемещения системы координат мы не будем учитывать поворот этой системы и будем предполагать, что векторы I, к остаются неизменными для наблюдателя, движущегося с системой координат R.

Поскольку в рассматриваемом случае скользящий вектор смещается параллельно самому себе, он не претерпевает каких-либо изменений. С другой стороны, момент импульса относительно неподвижного начала О увеличивается на величину, равную моменту вектора относительно точки О в рассматриваемом новом положении этого вектора в точке О' (см. рис. 318), т. е. на величину udt X . Таким образом, скорость изменения вектора Я, обусловленная движением начала координат, равна иХ .

Рассмотрим теперь поворот системы координат на величину &idt; начало остается при этом неподвижным, а импульс остается неизменным относительно наблюдателя, движущегося с системой координат R.

Если OA и ОВ на рис. 318 представляют собой векторы % и к в момент времени t, то в момент времени t + dt они изображаются отрезками OA

где величина А не зависит от R. Отсюда следует, что скорость q имеет порядок R. Для точек на поверхности Е имеем dS = Rd(i), где dw - элементарный телесный угол. Следовательно, интегралы в уравнениях (3) и (4) являются величинами порядка

) ] R

Ясно, что при R- оо эти величины стремятся к нулю, что и требовалось доказать.

17.40. Движущееся начало координат. Удобнее относить движение не к системе координат R с началом О, неподвижной в пространстве, а к системе координат R с началом О', неподвижной относительно тела (см. п. 17.10). В момент времени t система координат R занимает определенное положение в пространстве. Выберем систему координат R так, чтобы она в этот момент времени совпадала с системой координат R. Пусть движение системы координат R описывается скоростью и начала О' и угловой скоростью , причем