Этот результат имеет общее применение, как видно из свойства (VI). Это свойство, с другой стороны, показывает, что если q и q почти равны то период колебаний общей поверхности будет больше, чем периоды колебания свободной поверхности жидкости.

14.43. Установившийся поток над синусоидальным дном*). Пусть поток средней глубины h течет со скоростью U по синусоидальному дну, форма которого выражается уравнением tji = а sin тх, где величина а мала, ось X направлена горизонтально, (рис. 272).

Поместим начало координат на свободной поверхности. Рас-

(п. 14.40) вида

ш= -и

Ь

sh тН

cos m (z -f Ш)

где Я определяется из формулы

U=-thmH. т

Комплексный потенциал (1) дает установившееся волновое движение с поверхностным возвышением v\2 = bsinmx в установившемся потоке глубины Я. Свободная поверхность характеризуется линией тока ф = 0, а дно -линией тока = иН. Определим величину b таким образом, чтобы линия = Uh была линией тока г/= -/i-f-Tji. Подстановка величины ф=1/Л вместо функции тока в формулу (1) дает

Ь

sin тх sh m (Я - Л),

что соответствует значению т] = asinmл; при условии

bshm(H-h)

sh тН

Учитывая формулу (2), получаем

а

chmh-

sh mh

<3)

Эта формула определяет отношение Tja: t]i для данного значения х.

Таким образом, гребни и впадины свободной поверхности дна соответствуют или противоположны друг другу в зависимости от выполнения неравенств

Umthmh, или Wc т

где с -скорость распространения волн длиной 2я/т в воде глубины h.

Если и = с, то отношение Лг : i1i становится бесконечным. Это значит, что свободная поверхность тогда не может быть представлена простой синусоидальной кривой и предположение, при котором это решение было получено, в таком случае отпадает.

1) Литература по теории волн над волнистым дном указана в прим. перев. на стр. 409.-Ярил, перев.

\ q<7 + gQ4- Qg - gQT] = const.

где величины q, ц относятся к верхнему слою жидкости на поверхности раздела, а q - K нижнему. Если глубина нижнего слоя жидкости велика, то мы можем взять w- -U{z+ae-(+>) подобно формуле (3) п. 14.40; это приводит к уравнению

ag iQ - Q) + QbmU ch т(Н- h) csch тН - QamU = 0.

Исключая отношение b:a с помощью соотношения (3) п. 14.43, мы получим после некоторых преобразований

{mU iQ + Q cth mh)-giQ- Q)} {mU - } = 0,

отсюда имеем

m m(e-fQCthmA)

Таким образом, для заданной скорости распространения возможны две различные длины волны, первая из которых такая же, как в случае отсутствия верхней жидкости.

Чтобы найти значение т во втором случае, положим

- Q -5 тп - х.

Тогда получим уравнение

f(x) = s + cthx--L=0,

которое можно переписать в виде

/W=s-b(cth-l).

Но величина cthx - \/x положительна, если л; > О, а величина (1-1}/х отрицательна, если /< 1. Следовательно, функция f (х) положительна, если / < 1 и уравнение не имеет положительных корней. С другой стороны,

*) Точное решение задачи о плоских установившихся капиллярных волнах на поверхности жидкости конечной глубины дано в работе: Слезкнн Н. А., Об установившихся капиллярных волнах . Ученые записки МГУ, вып. VII (1937), 71 -102. Точное решение задача об установившихся капиллярно-гравитационных волнах на поверхности жидкости бесконечной глубины дано в работе С е к е р ж-3 е н ь к о в и ч Я. И., К теории установившихся капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды , ДАН СССР, 109, № 5 (19S6), 913-915; см. также Теория волн и течений , сборник статей, Киев, АН УССР, 1963.- Прим. перев.

14.44. Волны на поверхности раздела в случае, когда верхний слой имеег свободную поверхность.Задача, рассмотренная в п. 14.42, допускает интересное обобщение, если считать, что верхняя поверхность является свободной поверхностью, а не ограничена неподвижной горизонтальной плоскостью*)-Рассмотрим слой жидкости глубины h и плотности q, лежащей на слое жидкости плотности q. Это соответствует распространению волн на поверхности раздела. Эта задача подобна задаче п. 14.43, если вместо неподвижного синусоидального дна мы рассмотрим жидкость, расположенную под извилинами синусоиды. Используя рисунок и обозначения этого пункта, в верхнем слое жидкости мы получим то же самое значение потенциала (1) и то же самое отношение (3) возвышений на свободной поверхности и на поверхности раздела, причем и обозначает теперь скорость распространения волны. Дополнительным условием, которое должно удовлетворяться, является условие непрерывности давления на поверхности раздела, которое выражается равенством

6 - c-Q

так что при малых значениях разности (q - q) возвышение волн на поверхности раздела будет очень большим по сравнению с поверхностным возвышением. Этот результат использовался для объяснения аномального сопротивления, которое иногда испытывали корабли вблизи устьев некоторых норвежских фиордов, где имеется слой пресной воды над слоем соленой воды, причем увеличение сопротивления приписывается образованию волн большой амплитуды на поверхности раздела.

14.50. Поверхностное натяжение. Поверхность раздела между двумя жидкостями, которые не перемешиваются, ведет себя так, как если бы она находилась в состоянии равномерного натяжения. Это натяжение называется поверхностным натяжением и зависит от природы обеих жидкостей и от температуры (рис. 273).

Пусть PQ = 6 s - элемент дуги поперечного сечения цилиндрической поверхности, являющейся поверхностью раздела между двумя жидкостями с поверхностным натяжением Т. Если pt и Р2 - давления с обеих сторон этой по- Рис. 273.

верхности, бЭ - угол между касательными в точках Р и Q, то, проектируя силы на нормаль в точке Р, получаем приближенное уравнение

-pi6s + P26s-bT60 = O

и, следовательно,

т

Pi - Р2 = ,

где R - радиус кривизны.

Таким образом, если поверхностное натяжение отлично от нуля, то на поверхности раздела имеет место разрыв давления. В общем случае явление поверхностного натяжения описывается с применением понятия капиллярности. Используя рис. 262 и обозначения п. 14.12, мы видим, что разность между внутренним и внешним давлениями в точке Р поверхности раздела равна

с доугой стороны, вследствие малости наклона поверхности кривизна равна dh\/dx. Таким образом, граничное условие для давления на поверхности

если / > 1, то /(0)=-сю, /(oo) = l-!-s, и, следовательно, уравнение имеет действительный положительный корень. Наличие только одного такого корня следует из того факта, что f (х) положительна, если / > 1. Таким образом, если

то создаются волны только одного вида, но если меньше этой величины, то создаются волны другого типа, для которых отношение возвышения поверхности раздела к возвышению свободной поверхности дается формулой (1). Это отношение равно

Q+Q Q+Q

раздела имеет вид

причем знак минус означает, что наклон уменьшается, когда координата х увеличивается.

Дифференцируя по t последнее равенство и замечая, что dt\/dt = д^/дх, получаем

dfi дх Q дхз Это уравнение заменяет условие на поверхности (1) п. 14.13.

14.51. Уравнение для комплексного потенциала. Применяя результаты п. 14.13, находим уравнение Чизотти в форме

lw{z + ih,t) + wiz-ih, t)\ + ig I [ш (г + ih, t)-w{z-ih,t)\-

- T 5- + 0 - (z - ih, 01 = 0.

14.52. Поверхностные волны. Чтобы получить поверхностные волны в воде глубины Л, будем использовать периодическое решение

ш (2, t) = A cos [mz - nt),

которое является действительным при =0. Подставляя w в уравнение п. 14.51, находим

- л ch mh + mgshmh + sh mh = 0, отсюда получаем равенства

n = m(g+ th mh,

определяющие скорость распространения волн длины 2п/т.

14.53. Влияние капиллярности в случае волн на поверхности раздела.

Используя рисунок и обозначения п. 14.42, мы получим в данном случае уравнения (3) и (4) для давления с помощью тех же рассуждений. Действие поверхностного натяжения на поверхность раздела математически выражается тем, что условие р = р' заменяется условием

р р'=-Т^ = Тат^ sin тх,

а уравнение для скорости распространения принимает вид

mg (V -с)2 cth mh + mg (V - с) cth mh = g{Q-Q) + ТтК

14.54. Скорость распространения. Рассмотрим волны, распространяющиеся по поверхности раздела между двумя слоями покоящейся жидкости большой глубины. Пусть q -плотность верхнего слоя жидкости, тогда иэ п. 14.53 мы имеем

Если длина волны 2п/т велика, то первый член, стоящий в правой части уравнения, велик по сравнению со вторым и влияние капиллярности незначительно. С другой стороны, при малых длинах волн второй член превосходит первый и можно пренебречь силой тяжести.

Положим

S-S-

T = gQ{l-s)

тогда S обозначает удельный вес верхней жидкости, а / обозначает длину, которую можно рассматривать как меру поверхностного натяжения. Выражая скорость с через sal, найдем

После дифференцирования видно, что имеет минимальное значение при т = 1/1, так что скорость распространения наименьшая для волн длины

Ко = 2я/,

а наименьшее значение скорости с выражается формулой

2gl(l-s) l+s

Таким образом,

eg - 2 VXo kj-

Это выражение показывает, что если с > Сд, то имеется два допустимых значения К/Кд и эти значения являются обратными дробями (рис. 274).

Волны длины, меньшей, чем Kg, называются рябью, так что рябь - это такие волны, в распространении которых главную роль играет капиллярность.

Групповая скорость выражается формулой

Рис. 274.

1 X-XgN

2 k+klJ-

Таким образом, при ряби групповая скорость стремится к величине Зс/2, превосходящей скорость распространения волны, в то время как для волн, у которых к больше, чем ко {гравитационные волны), групповая скорость стремится к величине с/2, как уже было найдено в п. 14.22.

Условие устойчивости состоит в том, чтобы величина с* была положительной. Это условие всегда удовлетворяется, если q > q. Однако следует отметить, что это условие также удовлетворяется при Q < q, если имеет место неравенство

<

g(Q-Q)

Этот результат иллюстрируется экспериментом, при котором вода поддерживается за счет атмосферного давления в опрокинутом стакане, если стакан закрыт марлей с мелкими ячейками.

Учитывая, что Ci зависит от длины волны 2п/т и имеет минимальное значение с^ (п. 14.54), получим

Это неравенство означает, что волны при некоторых значениях длин волны не могут распространяться - они превращаются в брызги и пену. Это означает, что поверхностные волны неустойчивы даже тогда, когда преобладает преимущественно штиль перед началом действия ветра. Как показал Ламб, минимальное значение V в этом случае равно приблизительно 12,5 узла 22,57 км/час).

Два значения скорости с, даваемые формулой (1), выражаются в виде

Эти значения скорости имеют противоположные знаки, если У < Ci (1 -f s Y. Отсюда следует, что волны могут распространяться либо в направлении ветра, либо против него, но быстрее они распространяются по ветру, чем против ветра. Если величина V превосходит только что полученное значение, то волны

не могут распространяться против ветра.

Следует напомнить, что вышеуказанные заключения основываются на аргументах, в которых не учитывалась вязкость.

14.58. Условие Леви-Чивита для поверхности жидкости. В п. 14.40 мы видели, что волна, имеющая при распространении постоянную форму профиля, может быть приведена к установившемуся движению. Рассмотрим волновой профиль, распространяющийся справа налево со скоростью с; его можно остановить путем наложения на всю систему скорости с, направленной слева направо, как, например, на рис. 275.

Применяя обозначения п. 12.43, напишем

-S- = i5 = 7e-*e=ce-4 (1)

( = е + гт, q = ce. (2

В качестве свободной поверхности возьмем линию тока \; = 0.

14.55. Действие ветра на глубокой воде. Если вода глубокая и имеется только волновое движение, то из п. 14.53 следует

, 2VS Vs g 1-s Тт 1+S l+s~ m 1 + S 0 (l+s) !

где s = q/Q, Ci -скорость волны при отсутствии ветра, q -плотность воздуха. При данной длине волны скорость волны с будет наибольшей, если dc/dV = 0, т. е. если c = V, и тогда максимальная скорость выражается формулой

Cm=Cil/ l + s.

Если ветер имеет какую-либо другую скорость, большую или меньшую, чем Cm, то скорость волны будет меньше, чем Ст- С другой стороны, значение скорости с будет мнимым, если

Эф сз

Но © - аналитическая функция ш, следовательно, дх/дц>=-56/5ф. Таким

g-3tsine, ф = 0. (4)

В таком виде условие на поверхности было получено Леви-Чивита*).

Полученное условие является нелинейным. Линейное приближение можно найти, если предположить, что модуль <й| является малой величиной первого порядка. Это означает, что бит малы, так что приближенно sin9= 9 и q=c. Таким образом, линеаризированная форма указанного условия имеет вид

Ф=о. (5)

Теория, основывающаяся на этом условии, полностью эквивалентна теории, данной в предыдущих пунктах этой главы. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим симметричный волновой профиль длины волны Я, и поместим начало координат в гребне (см. рис. 275). Для простоты рассмотрим случай бесконечно глубокой воды.

В силу симметрии велияина ф постоянна, а 9 = 0 на вертикали, проходящей через гребень или впадину волны. Поскольку на большой глубине - дф/Зл; = с, - д(р/ду = 0, то мы можем положить ф = 0 на оси у и ф = ± V2 сЯ на вертикалях, проходящих через соседние впадины, расположенные слева и справа.

Таким образом, граничные условия, которые должны быть удовлетворены, имеют вид

0 = 0, если ф = ± (6)

ю->0, если ф->с , (7)

условие на поверхности. (8)

В данном случае условие на поверхности дается формулой (5).

1) Levi-Civita, Math. Ann., 93 (1925), 264.

Так как при установившемея движении время в уравнения ие входит, то комплексный потенциал ш является аналитической функцией только переменного г; мы можем взять в качестве независимого переменного w вместо Z. На свободной поверхности ф = 0 и, значит, оа = ф, следовательно, г, q, tt> являются функциями только действительного переменного ф. Кроме того, на свободной поверхности по теореме Бернулли величина M+gy постоянна и, следовательно, мы имеем

Но из формулы (1) при ф = 0 следует dz/d(f= -e/q, отсюда

в то время, как из формулы (2) получаем

дд дх дц> ~ дц>

Таким образом, уравнение (3) можно представить в виде

функциз

образом, окончательно

1) Da vies Т. V., Proc. Roy. Soc, 208A (1951), 475; Quart. Appl. Math., 10 (1952), 57. В работе Рас к ham В. А., Proc. Roy. Soc, 213A (1952), 238 этот метод был применен к уединенной волне. (Теорию уединенной волны Можно найти в цитированной на стр. 409 монографии Дж. Дж. Стокера, § 10.9.-Прим. перев.)

Легко доказать, что указанным условиям удовлетворяют величины (й= -c = gK/2n, (9)

где А - действительная константа, которая является малой величиной в силу того, что величина © мала. Если затем положить /п = 2яД, А = та и разложить в ряд показательную функцию в формуле (1), то мы получим

- =т =т (J + = Т (1 + .

откуда, замечая, что z = 0 при ш = 0, найдем после интегрирования

w=-c{{z+ ai) - /ае* }.

Так как величина а мала, то в первом приближении ш= -c{z + ai) и, следовательно, подставляя это значение в показатель показательной функции, получаем

ш= - c{(2 + at) + ae- <+<*+/4>}. (10)

Это выражение согласуется с формулой (3) п. 14.40, если начало координат перенести в гребень волны, т. е. если написать z + ai + XJ4 вместо г. Тогда результат будет отличаться от выражения (10) только постоянной величиной. Таким образом, линейное приближение (5) согласуется с предыдущей теорией и на самом деле дает уточнение предпосылок этой теории.

Однако имеется серьезное ограничение при использовании линейного приближения. Волна у гребня будет разбиваться, если скорость жидкости у гребня превосходит скорость волны. Критическим является тот случай, когда скорость жидкости у гребня равна скорости волны, т. е. случай установившегося движения при = 0. Согласно формуле (2), это означает, что в гребне г' = 0 и т=-оо. Отсюда следует, что приближение, основывающееся на допущении, что величина т мала, оказывается непригодным в этом случае. Дэвис*) предложил приближение к граничному условию (4), которое сохраняет его основные черты и допускает, чтобы т было велико по модулю. Приближение это имеет вид

= e-3-sin3e, ф=о, (И)

оно отличается от условия (4) только подстановкой величины */зз1п30 вместо sin 6.

В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что граничные условия (6) и (7) и условие (11) на поверхности удовлетворяются равенствами

е-зш:=1 3е2№л, c>gk/2n, (12)

где ЗЛ - произвольная действительная постоянная. Если модуль \(л\ мал, то формула (12) сводится к формуле (9).

Так как ш = 0 в гребне, то из формул (1) и (12) следует, что v должно быть равно нулю, если ЗЛ = 1. Это является условием для разрушения гребня.

Если это условие удовлетворяется, то вблизи гребня, где величина ttf мала, мы имеем

и, следовательно, из формулы (1) получим

dz dw

oz W- и Ш ос 2/ .

Полученные соотношения означают, что при разрушении волны в окрестности гребня волна имеет форму клина с углом 120°. Это согласуется с наблюдениями разрушающихся волн и с теоретическими результатами Стокса.

14.60. Длинные волны. Факты, которые были рассмотрены в предыдущих пунктах, относились к поверхностным волнам любой длины. Теперь мы рассмотрим волны, длина которых велика по сравнению с глубиной воды. Таким

образом, для воды глубины А, содержащейся в горизонтальном канале, сделаем предположение, что отношение АЛ мало (где Jl - длина волны). Указанные выше ограничения относительно малости поверхностного возвышения и наклона волны, конечно, остаются в силе. В данном случае это означает, что величины т]/Л и ёц/ёх малы (рис. 276).

В силу предположений теории длинных волн уравнение распространения (5) п. 14.13 упрощается, и поэтому можно легко получить общее решение. В самом деле, если w (z, t) - комплексный потенциал, то мы имеем

w{z + ih. t) = w{z, O-b/A-f

Ш {z-ih, t) = W (2, t) - ih+

H, следовательно, пренебрегая членами, содержащими А^, уравнение для w запишем в виде

а%(г, о

Как и прежде, ш должно быть действительным на действительной оси =0. Для решения этого уравнения введем обозначение c=gh и положим

ZiZ+Ct, Zi=Z - Ct.

Тогда

dw dw dw dz ~ dzi dzz

dw dw dw

W~d~d

следовательно, уравнение (1) приводится к виду

После интегрирования получим

где a)i (Zi) - произвольная функция от Zi.

Интегрируя еще раз, получим ffi = uyi(Zi) + a)2(z2), где Шг (Za) - произвольная функция от Z2 и, следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

w = Wi{z + ct) +W2(z - ct), (2)

где аналитические функции Wi, W2 могут быть выбраны произвольно при единственном условии, чтобы величина w была действительной при у = 0.

Сравнивая действительные и мнимые части, из формулы (2) получим для потенциала скорости и функции тока следующие выражения:

Ф = ф(д:, у, t) =(i{x+ct, y) + (p2{x-ct, у), (3)

ф = ф у, t) = ф1 (д; + ct, у) + ур2{х- ct, у). (4)

Поскольку величина ш действительна при у = 0, то

ф(л;. О, ) = 0. (5)

По теореме Маклорена имеем

Ф.Ф( ,0,Ч+,(!1ЬА0)+.... (6,

Так как у изменяется от О до h, то второй член бесконечно мал по сравнению с первым. Следовательно, мы можем положить = 0, и отсюда

(f = (py{x + ct)+(f2{x-ct). (7)

С помощью тех же соображений из формулы (4) с учетом соотношения (5) получаем ф = 0.

Таким образом, формула (7) дает полное решение задачи теории длинных волн.

Из формулы (7) следует, что все частицы, находящиеся в одной и той же вертикальной плоскости, имеют одинаковую горизонтальную скорость, равную - 5ф/5л;, и, следовательно, остаются в вертикальной плоскости.

Кроме того, из формулы (6) имеем

дц, fdif(x,!f,n\ fdpjx, у, t)\

ду V ду Jy=o V ду )y=Q

Так как первый член в правой части последнего равенства представляет собой вертикальную скорость на дне, которая равна нулю, то, следовательно, вертикальная скорость есть величина второго порядка малости и пропорциональна высоте над дном.

14.61. Давление. Если обозначить через П давление на свободной поверхности, а через г\ - поверхностное возвышение для данных значений .х и t, то уравнение для давления принимает вид

При выводе этого уравнения мы пренебрегли величиной 9* и приняли во внимание, что dldt не зависит от у. Таким образом, получаем уравнение