УРо Qo

то скорость звука в каждом газе может быть вычислена. Вычисленная скорость звука для воздуха при 0° С равна примерно 330 м/сек, что хорошо согласуется с наблюдениями и оправдывает выбор адиабатического закона.

Благодаря сделанному предположению относительно того, что волны распространяются в одном измерении, потенциал скоростей имеет одинаковое значение во всей плоскости, для которой задано значение х. Поэтому такие волны называются плоскими.

Потенциал скоростей плоской простой гармонической прогрессивной волны имеет вид

((> = Acos~(x - ct},

где Я -длина волны. Период равен т=А,/с.

Звуковые волны распространяются со скоростью, не зависящей от длины волны, и, следовательно, в этом отношении они аналогичны длинным волнам на воде.

Если частица, равновесное положение которой соответствует х, занимает в момент времени t положение х + 1, то мы имеем

Таким образом, ф=с5 и действительная амплитуда перемещения, а именно А/с, пропорциональна амплитуде потенциала скоростей.

В качестве величины интенсивности звука мы можем взять величину, пропорциональную средней скорости, с которой переносится энергия через единицу площади волнового фронта. Мощность силы давления выражается в виде

ее среднее значение за период равно

Таким образом, интенсивность звука пропорциональна квадрату амплитуды и обратно пропорциональна квадрату периода.

14.88. Плоские волны в цилиндрической трубе. Пусть /-длина трубы, поперечным сечением которой может быть любая плоская кривая и образующие которой параллельны оси х. Будем искать периодические решения в виде стоячих волн. Для этого предположим, что ф = /(л:)cosп?. Тогда подстановка в уравнение

стей ф1 (х), распространяется со скоростью с в положительном направлении оси х; другая, отвечающая потенциалу скоростей фг, распространяется в противоположном направлении также со скоростью с.

Таким образом, с есть скорость звука. Так как из формулы (4) п. 14.86

Ф = л cos-cosn,

где п принимает любое из вышеуказанных значений.

Эти решения можно сложить, так что в результате найдем

. лх net , л 2ях 2nct , Ф= i4iC0s -cos--Ь^гсоз-y-cos--\-... .

Первый из этих членов называется главным, или основным, тоном, другие называются обертонами. Частота основного тона равна с/(21). Скорость у каждого конца обращается в нуль, если труба издает основной тон. Кроме того, скорость частиц может обращаться в нуль в других точках, если колебание таза содержит обертоны. Такие точки называются узлами, в то время как точки с максимальной скоростью для данного значения t называются пучностями, если использовать терминологию волн на воде. В пучностях давление постоянно, в то время как в узлах оно одинаково для данного значения t.

Для трубы, закрытой с одного конца, скажем, при х = 0, я открытой с другого, мы снова имеем В = О, но поскольку d(p/dt обращается в нуль при х = 1, то мы получаем cos( c) = G. Таким образом,

=(2s+1)y s = 0, 1, 2,

а частота главного тона равна п/(2я) =с/(4/). Открытый конец является пучностью.

Для трубы, открытой с обоих концов, мы получаем Л = О и sin (nl/c) = О, так что частоты получаются такие же, как если бы оба конца были закрыты, но только открытые концы являются теперь пучностями.

14.89. Сферические волны. Если возмущение симметрично относительно начала координат, то ф будет зависеть только от расстояния г и времени. Тогда из формулы (5) п. 14.86 и п. 2.72 мы получим

Таким образом, находим

9 = cos- + Bsin-)cos f. (1)

Концы трубы могут быть открыты или закрыты, у закрытого конца скорость частиц обращается в нуль, т. е. d(fldx = 0. У открытого конца, сообщающегося с внешним воздухом под давлением ра, должно приближенно удовлетворяться условие р==Ро, если диаметр трубы мал по сравнению с длиной волны. Таким образом, у открытого конца d(p/dt = 0.

Если труба закрыта на концах при х^О и х = 1, то из формулы (1) мы получим

В = О, sin (nl/c) = 0.

Последнее условие дает

- = л, 2я, Зя,

следовательно, периоды 2я/п равны

21 21 21

ИЛИ

(Ф) 2 (Ф) Таким образом, так как и в п. 14.60, мы имеем

Гф = /1 (Г-С0+/2 (r + Ct),

ЧТО представляет собой сумму расходящегося и сходящегося возмущений.

В случае волн, расходящихся от начала координат, мы можем написать

и движение можно рассматривать как движение, вызванное источником мощности /(/) в начале координат. Если источник действует в течение конечного промежутка времени, а затем перестает действовать, то путем интегрирования по промежутку времени, который включает в себя все время прохождения возмущения через данную точку, мы получим из формулы (4) п. 14.86 равенство

J sdt=0,

так как величина ф равна нулю до и после прохождения волны. Этот результат означает, что s принимает как положительные, так и отрицательные значения. Иначе говоря, расходящаяся волна обязательно должна содержать в себе сжатые и разреженные части. Это замечание принадлежит Стоксу. Отсюда следует, что не может существовать одна расходящаяся волна сжатия.

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 14

1. Гребни волн, длина которых равна 66 м, распространяются вблизи корабля и достигают его через 16,5 сек. Гребню требуется 6 сек, чтобы пройти вдоль корабля. Найти длину волны и скорость корабля.

2. Доказать, что

ш=Л cos-y -W)

является комплексным потенциалом, соответствующим распространению простых гармонических поверхностных волн малой высоты по воде глубины h, причем начало координат расположено на невозмущенной свободной поверхности. Выразить А через амплитуду а свободных колебаний. Доказать, что

и установить, что каждое значение скорости V, меньшее, чем y(gh), есть скорость некоторой волны.

ХСоказать, что каждая частица описывает эллипс относительно своего положения равновесия. Получить соответствующий результат для бесконечно глубокой воды.

3. Жидкость постоянной глубины h, заполняющая сосуд с вертикальными стенками, паралельными оси Ог получила малое возмущение; найти уравнение, определяющее движение жидкости.

Показать, что потенциал скорости имеет вид

9=f (д:, у) ch к(г+Н) cos (at+e),

и объяснить, как найти функцию f(x, у) и константы k я а. Рассмотреть случай, когда горизонтальное сечение сосуда представляет собой прямоугольник со сторонами а и Ь.

4. Рассмотреть кинетическую и потенциальную энергии, связанные с одной системой прогрессивных волн на глубокой воде. Предполагая, что эти величины равны, получить формулу

где V-скорость распространения волны.

Г, , Т) / 2nh\

6. Показать, что длина стоячих волн К в реке глубины А, текущей со скоростью ч, определяется формулой

Показать, что если скорость потока превышает величину Ygh, то такие стоячие волны не могут существовать.

7. Показать, что если в системе волн на глубокой воде с потенциалом скоростей

1 2я2:

Ф = у^Ае cos=(x-Vt)

величиной (h/l) можно пренебречь, то частицы жидкости движутся по окружности с постоянной скоростью.

Доказать, что с точностью до второго приближения поверхностные частицы подвергаются незначительному поверхностному дрейфу в направлении распространения волны.

8. Плоские прогрессивные волны в воде глубины Л с потенциалом скоростей

ga сЬ m(z-\-h) , , , ч

п--chmA- cossina)-nt}

отражаются от твердой вертикальной стенки, совпадающей с плоскостью х - 0, причем ось z направлена вертикально вверх, а начало координат находится на невозмущенной поверхности. Найти потенциал скоростей отраженных волн и показать, что траектории частиц являются эллипсами, плоскости которых вертикальны только в плоскости x = 0.

9. Исследовать волновое движение, имеющее место на горизонтальной поверхности раздела между двумя жидкостями, из которых верхняя имеет плотность q2 и скорость течения V, а нижняя имеет плотность qi и покоится, если не считать малого движения, причем обе жидкости простираются неограниченно.

Показать, что скорость волны с длины к определяется уравнением

g(ei-e2)=x (е1+е2(с-г/р),

и доказать, что при данном значении скорости V волны, имеющие длину меньше некоторого значения, не могут существовать.

10. Бесконечная жидкость плотности лежит над бесконечной жидкостью плотности о, причем обе жидкости разделяются плоской горизонтальной поверхностью раздела. Показать, что скорость V распространения волн длины Я, вдоль поверхности раздела выражается формулой

Доказать, что для любой группы таких волн групповая скорость равна половине скорости волны.

11. Слой жидкости плотности Q глубины h лежит над бесконечно глубокой жидкостью плотности ст (а > q). Показать, что если пренебречь поверхностным натяжением, то вдоль слоя могут распространяться волны двух типов длины 2я/т со скоростями, даваемыми формулами

V2= g. т

g-О

m a cth mA-[-Q

12. Накладываются друг на друга две несжимаемые жидкости с плотностями Qi. Q2 (Qi > 62) Верхняя жидкость движется как целое со скоростью Uz, а нижняя

Показать, как изменится этот результат, если длина волны настолько мала, что потенциальной энергией, обусловленной поверхностным натяжением, нельзя пренебрегать.

5. Система простых гармонических волн длины % проходит по поверхности воды большой глубины. Доказать, что в точке, лежащей под невозмущенной поверхностью на глубине h, давление в момент времени, при котором глубина точки равна h-\-r\, относится к давлению в той же точке в невозмущенном состоянии как

со скоростью Ui в направлении горизонтальной оси х; ось у направлена вертикально вверх. Показать, что высота волнового возмущения т], потенциалами скоростей которого соответственно в обеих жидкостях являются <pi и <р2, удовлетворяет следующим уравнениям на границе раздела:

~д^-5Г+1лГ ~ ду - дх

Получить скорость распространения волн длины X на этой поверхности раздела, если иi = 1/2 = 0 и обе жидкости имеют бесконечную глубину.

13. Жидкость плотности находящаяся в области 0<z</i, разделяет две жидкости плотностей Qi и рз, занимающие соответственно области /1<2<оои -со<г<0 и покоящиеся при наличии силы тяжести, причем Qi < < Qa- Если волны длины X, большой по сравнению с h, возникают в среднем слое, то найти две возможные скорости распространения Vi, v2, показав, что Vi не зависит от qz и является такой величиной, что группа волн приблизительно одинаковой длины распространяется со скоростью 1/2 Vi, в то время как другое значение v2 не зависит от X. Ось z направлена вертикально вверх.

14. Если плоскость z=0 является горизонтальной поверхностью раздела двух неограниченных несжимаемых жидкостей, из которых верхняя плотности движется как целое со скоростью U в направлении оси х, в то время как другая жидкость плотности q2 покоится, то показать, что условия неразрывности, которым удовлетворяют потенциалы скоростей ф1, ф2 малых возмущений из установившегося состояния, могут быть записаны для обеих жидкостей в форме

Доказать, что возмущение в виде волны длины X будет распространяться вдоль поверхности раздела с действительной скоростью, если только

2лUQq2

g Qi-Q?

15. Получить условия, которым должны удовлетворять малые колебания на горизонтальной поверхности раздела двух полубесконечных жидкостей плотностей q, q(Q>Q), текущих со скоростями U, U в одном и том же горизонтальном направлении, причем принимается во внимание поверхностное натяжение Т.

Показать, что возможны два значения для скорости волны длины X, а именно

Q+q ± К 2я Q+Q X(Q-fQ) (Q+Q)2

16. Две неперемешивающиеся жидкости занимают область между двумя неподвижными горизонтальными плоскостями. Верхняя жидкость плотности q и средней глубины А' течет с общей скоростью U по нижней жидкости, плотность которой равна q и средняя глубина равна h, причем эта жидкость имеет только волновое движение. Пренебрегая вязкостью, доказать, что скорость V волн длиной 2nlk, распространяющихся по общей поверхности в направлении скорости u, выражается формулой

qV cth ЙА-j-Q ([/-cth kh = Tk+g iQ-Q)lk,

где Г)-поверхностное натяжение.

Применить полученный результат для оценки устойчивости поверхности глубокой воды, над которой дует ветер с данной скоростью. (Для числовых расчетов величину g можно взять равной 980, а величину Ti-равной 74 в системе CGS, а q/q можно взять равным 0,0013.)

17. Жидкость плотности Q глубины h находится над неподвижным горизонтальным дном; над ней имеется слой жидкости плотности Q(e<g) и толщины h; верхняя поверхность представляет собой неподвижную горизонтальную плоскость. Получить уравнение, определяющее скорость V волн длины 2л/т на общей поверхности, причем поверхностное натяжение между обеими жидкостями равно Tj.

Доказать, что если h и А' -малые величины по сравнению с величиной 2п/т, то приближенно имеем

VihhQ-Qjg+Tjm Qh+Qh

mV - r-f- (i/-У)2 = О, л

при условии, что

19. Объяснить, почему флаг колышется на ветру, построив необходимую теорию.

20. Найти скорость системы простых гармонических волн длины X, движущихся под влиянием силы тяжести и капиллярности по общей поверхности двух жидкостей с плотностями Q и q, еслр Т-поверхностное натяжение. Показать, что имеется минимальная скорость волны; найти ее величину и величину соответствующей длины волны. Доказать, что групповая скорость группы волн почти одинаковой амплитуды, длины и фазы больше или меньше скорости одной волны, смотря по тому, будет ли длина волны в группе меньше или больше, чем длина волны, имеющей минимальную скорость. Указать, какие явления можно объяснить этим результатом.

21. Слой жидкости плотности Qi и высоты h находится на горизонтальной поверхности неограниченной жидкости плотности Q2(62>Qi)- Если Ti, Тг -поверхностные натяжения на верхней и нижней границах слоя, то доказать, что скорость V, с которой волны распространяются вдоль слоя, удовлетворяет уравнению

V*kQi (Q2+Qith kh)~

- V4 Ik {ei (Ti + T2) + Q2Ti th kh} + QiQ2g(l + th kh)] -f

+ {kTi+Qig} {kT2+(Q2-Qi) g} th kh = Q,

где 2я;/й-длина волны.

22. К свободной поверхности глубокой покоящейся воды приложено импульсивное давление coo-f-oi sin тд;. Найти импульсивное давление в любой точке воды. Показать, что начальная кинетическая энергия воды, отнесенная к единице площади свободной поверхности, равна тыЦАд.

23. К свободной поверхности глубокой покоящейся воды приложено импульсивное давление а sin тх, причем начаж) координат находится на свободной поверхности, а ось г направлена вниз. Определить комплексную скорость начального движения и показать, что комплексная скорость жидкости на глубине г равна тше-/б-

Получить соответствующие результаты для мелкой воды глубины d.

24. Разработать двумерную приближенную теорию распространения поверхностных волн малой высоты по горизонтальному слою жидкости постоянной глубины.

Показать, что потенциал скорости ф и функция тока iJ) уединенной волны!) выражаются приближенно формулой

<f+i=-c{x+iy) + cathm{x+iy),

где ось X направлена вдоль дна, ось у-вертикально вверх и где

mc = gthmh, dma = 2sh mh,

причем /i -глубина жидкости.

Доказать, что высота волны на расстоянии х от точки с максимальной высотой равна приближенно

Ti=TioSch2i-mx

и что с той же степенью приближения

c=gih+f\o).

25. Объем 4lhb воды находится в бассейне, ограниченном вертикальными плоскостями Jc=±i, y=±b и горизонтальной плоскостью z=-h. Сначала вода покоится под действием внешнего давления, приложенного к ее верхней поверхности и равного Ро+Р1*/Л где Ро и Pi-константы и pi мало. Внезапно это внешнее давление изменяется

1) См. Ламб, Гидродинамика, § 252.

18. Две части бесконечного равномерного потока жидкости плотности q, текущей £0 скоростью и, разделены плоской границей из очень эластичного материала, масса которого, отнесенная к единице площади, равна т и который подвержен напряжению Т, причем граница параллельна потоку. Показать, что волны длиной % могут распространяться вдоль границы из указанного материала в направлении потока со скоростью V, задаваемой формулой

сц/Vh = - sin n -2} . cos nt-}-- 2

cosj s+Y nx/a cos {(s+y}

где c = gh, s-какое-либо целое число.

28. Доказать, что если канал прямоугольного сечения ограничен двумя твердыми вертикальными поперечными стенками, расстояние между которыми равно 2а, и если вода первоначально покоится и имеет плоскую поверхность, наклоненную под углом р к дну канала, то возвышение волны ц в любой момент времени t выражается формулой

8аВ (-1) /п 1 лхх , , ,.nct

О

где с-скорость волны длины 4а/(2п--1) в бесконечно длинном канале.

29. Прямоугольный бак с четырьмя очень длинными боковыми стенками и двумя ограничивающими его горизонтальными стенками полностью наполнен тремя неперемеши-вающимися жидкостями, плотность и глубина каждой из которых в положении равновесия соответственно равны Oi, аг, Оз и ii, /г, /3. Показать, что скорость с распространения волн малой амплитуды вдоль поверхностей раздела выражается формулой

[с^т (Oj cth m/i--a2 cth mlz)-g (O2-O1)] x

X \cm (02 cth т/2--аз cth mli)-g (03-a2)] = c*m2acsch2m/2,

где длина волн равна 2njm.

30. Используя цилиндрические координаты (г, ш, в), показать, что дифференциальному уравнению для функции ф удовлетворяет выражение

гш sin nQ cos at,

причем свободная поверхность невозмущенной жидкости является плоскостью г = Л. Б:ли ось Ог направлена вверх, то найти частоту а и показать, что решением могут быть стоячие волны малой амплитуды на поверхности жидкости, ограниченной одной из семейства поверхностей вращения и двумя соответствующими меридиональными плоскостями, которые следует определить.

Найти траекторию, которую описывает частица жидкости, проходящая через точку

(О, щ. 0).

31. Найти скорость распространения горизонтальных безвихревых волн длины Л с прямолинейными гребнями на поверхности глубокой воды. Предполагая, что волны обусловлены начальным возвышением вдоль очень узкой полосы поверхности, содержащей линии х = 0, 2=0, доказать, что в момент времени / форма свободной поверхности определяется уравнением

-ZjV \-г-5...(4п-\-1)У2х j /

до постоянного значения, равного рд. Определить форму верхней поверхности в любой последующий момент времени.

26. Прямоугольный лоток длины 2а наполнен жидкостью глубины h и колеблется в направлении длины со скоростью Ug cos pt. Показать, что потенциал скорости вынужденных колебаний выражается формулой

f , (2п+1)пх , (2/г+1)я(г/+А)1

Ф = I -j: o+ 2j 2а-2а J

где

An=8auo (-1) sch + / (2я+1)%2 (1 р2/р2),

причем через р„ обозначены периоды свободных волн длины 4а/(2п + 1) в жидкости глубины h.

27. Длинный прямоугольный бассейн длиной 2а, наполненный водой до небольшой высоты h, сначала находится в покое, затем ему задается небольшая продольная скорость Vsinnt. Показать, что высота т] свободной поверхности над равновесным уровнем в момент времени t и на расстоянии х от того конца бассейна, который первоначально был самым дальним, выражается формулой

mcsinKx/

Оказывает ли влияние волнистость дна на скорость распространения волн вдоль канала?

38. Если ширина на свободной поверхности и количество воды, приходящееся на единицу длины в канале постоянного поперечного сечения, даны, то доказать, что скорость распространения длинных волн одинакова для всех видов поперечного сечения.

Прямая горизонтальная труба длины /, замкнутая с обоих концов, поперечным сечением которой является окружность радиуса а, наполовину наполнена водой. Труба слегка наклоняется, а затем снова принимает горизонтальное положение. Найти период свободных колебаний воды. Доказать также, что формула

nb . / ла 2п1

cosec

определяет амплитуду вынужденных колебаний свободной поверхности, обусловленных колебаниями диафрагмы, помещенной на одном конце трубы и движущейся по закону Ь sin nt, где величина b мала.

39. Получить уравнение движения длинных волн в мелком лотке глубины А. Такой лоток закрыт с одного конца (д: = 0) неподвижной вертикальной стенкой, а с другого

1) Рассматриваемая здесь задача является частным случаем так называемой задачи Коши -Пуассона. В Гидродинамике Ламба приведен ряд решений такого рода задач в линейной постановке. Однако в последнее время стали появляться приближенные решения этих задач для волн конечной амплитуды, т. е. в нелинейной постановке. [См. Сретенский Л. И., Секерж-Зенькович Я. И., Задача Коши-Пуассона для волн конечной амплитуды, ДЛЯ СССР, 133, №3(1960), 544-545; Сретенский Л. И., Задача Коши-Пуассона для волн конечной амплитуды, Грг/йы Морского гидрофиз. ин-та, XXIV (1961), 3-24.] В этих исследованиях применяются переменные Лагранжа и решение строится путем обобщения известного в небесной механике метода Линдштедта- Пуанкаре.-Лриж. перев.

где b-постоянная величина, зависящая от начального возвышения i) (см. Ламб, Гидродинамика, § 238).

32. Если оси X к у горизонтальны, а ось г направлена вертикально вниз, то доказать, что функция

. / - 2яг Л . / 2пу \ 2n{x - vt)

Ф=Лехр ( -г- sin ( , ) cos-Ц--

\ bcosa у' V & ctg а у b

является потенциалом скоростей для волнового движения на глубокой воде, ограниченной вертикальными плоскостями y = ±-bctga, и определить о-скорость распространения волн.

33. Охарактеризовать длинные волны в канале и определить скорость их распространения. Показать, что при распространении волн в одном направлении скорость жидкости в любом сечении канала пропорциональна высоте свободной поверхности над положением равновесия.

34. Получить уравнение движения длинных волн в мелком канале глубины h под действием силы тяжести и найти возможные возмущения горизонтального типа в таком канале длиной 21, закрытом с обоих концов вертикальными границами.

35. Поперечное сечение канала имеет вид полуокружности радиуса а. Доказать, что

скорость распространения длинных волн равна у (яа^)* при условии, что берега канала вертикальны.

36. Дно прямолинейного постоянной ширины канала с прямоугольным поперечным сечением имеет вертикальное продольное сечение в форме y=asm тх, где а мало по сравнению со средней глубиной h жидкости, находящейся в канале. Если жидкость движется горизонтально со средней скоростью и в направлении оси х, то показать, что свободная поверхность имеет вид

sh mh

n=a-r-77-;-гг sin тх, shm(ft-А)

где Л' определяется нз формулы mu=g th mh.

37. Пусть дно канала слегка гофрировано, так что глубина равна h-\-c sin Кх, где с и Kh малы. Доказать, что если поток течет со скоростью U вдоль канала, то в нем образуются стоячие волны высоты г\, определяемые формулой

Если h=xl2b, то доказать, что выражение

ч\ = ах cos

+ а

есть решение периода 2я/р; используя этот результат, проиллюстрировать возможный характер изменения амплитуды и длины волны в случае волн, перемещающихся с глубокой воды на наклонную отмель.

44. Получить дифференциальное уравнение движения длинных волн в канале переменной глубины h в форме

д^ц д Г . дц\

где г\ - высота волны над невозмущенной свободной поверхностью.

Глубина канала соответственно для х<6 и д:]>0 равна /tj и йг- Прогрессивная волна T)=asin m (л: -ViO, где Vl=ghi, распространяется вдоль тон части канала, где глубина равна hi. Получить амплитуды отраженной и прошедшей волн и рассмотреть их отношение к вышине прилива в реке, отделенной от моря мелкой полосой .

конца (х=1)-поршнем, перемещающимся по закону =acosp. Найти вынужденное колебание в лотке и показать, что у поршня возвышение воды ц над невозмущенным ее положением определяется формулой

где c = gh.

40. Доказать, что для длинных волн в горизонтальном канале постоянной глубины h и постоянного прямоугольного поперечного сечения справедливы следующие дифференциальные уравнения:

Эт] , ди дц

где и - горизонтальная скорость, а ц-высота волны над положением равновесия.

Такой канал неограничен в направлении увеличения координаты х и закрыт при дс = О поперечной стенкой, движущейся вдоль канала. При t = 0 вода в канале покоится; затем граница получает малую скорость и = ф(), причем функция ф такова, что полное перемещение границы всегда мало. Показать, что в этом случае в канале создается возмущение, которое является чисто прогрессивным, причем Т1 = 0, если t<x/c, но т]=

= (c/g) ф (- -7} t>x/c, где c=gh.

41. Мелкий лоток длины 21 наполнен водой до высоты h и закрыт двумя вертикальными поршнями, которые движутся горизонтально по заданному простому гармоническому закону

asm(nt-e), если х=-1, и а sin {nt-}-г), если jc-f*-Найти результирующее вынужденное колебание воды и показать, что амплитуда ц равна amh {cos2 в sin тх sec mZ-f-sin в cos тх cosec mlf,

где

т = п/\Ш-

42. Вывести уравнение движения длинных волн малой амплитуды в канале глубины h и постоянного поперечного сечения.

Изолированная волна произвольной формы, распространяющаяся в таком канале, ударяется о вертикальную стенку, которая совпадает с поперечным сечением канала. Показать, что волна отражается без изменения вида и что во время столкновения со стенкой вода поднимается до высоты, равной удвоенной нормальной высЛте изолированной волны.

Показать также, что горизонтальное количество движения такой волны равно полному избытку массы воды над положением равновесия, умноженному на скорость волны. Получить интеграл по времени добавочного давления, обусловленного ударом волны о стенку.

43. Двумерные длинные волны распространяются параллельно оси х в воде переменной глубины Л. Доказать, что высота свободной поверхности над невозмущенным уровнем удовлетворяет уравнению

dt дх\ дх J

где V-скорость поверхностных волн длины X.

47. Дать теорию длинных волн в канале постоянной ширины и глубины h при условии, что скорость свободной волны равна Yii)- Волна от землетрясения, определяемая уравнением т1о = С cos (с/-л:), распространяется вдоль дна. Доказать, что соот-

етствующая волна на свободной поверхности воды имеет вид

48. Получить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют возвышение tj и горизонтальное перемещение g для приливных волн в прямолинейном канале постоянной глубины.

Пренебрегая вращением и кривизной Земли и предполагая, что приливообразующее небесное тело движется равномерно в плоскости земного экватора, совершая вокруг Земли один оборот в день, показать, что в экваториальном канале будет распространяться прогрессивная волна, дающая прямой или обратный прилив, смотря по тому, будет ли глубина канала больше или меньше 7 км.

49. Приливные волны в канале обусловлены телом, движущимся в плоскости экватора с постоянной угловой скоростью (один оборот в день) относительно точки Q, в которой рассматриваемый канал, идущий по большому кругу, пересекает экватор под углом а. Показать, что наклон канала относительно экватора приводит к не зависящему от времени отклонению уровня, пропорциональному величине sinacos 2д:/а, и, кроме того, появляются две полусуточные приливные стоячие волны, амплитуды которых пропорциональны соответственно (l--cos2a) cos2;t/a и 2 cos а sin 2л:/а; здесь д:-расстояние вдоль канала, измеряемое от точки Q; а-радиус Земли.

50. Вывести уравнение

° dti дх дх J

для возвышения х\ поверхности при приливном волновом движении в канале переменного сечения, где Ь обозначает ширину канала у поверхности, S -площадь сечения.

Исходя из этого уравнения, доказать, что амплитуда прогрессивной волны приближенно пропорциональна величине Ь~Щ~, где h-средняя глубина. Если только относительное изменение величин 6 и /г и их производных по х на расстоянии порядка длины волны малы, то доказать, что это соответствует предположению непрерывного распространения энергии без отражения.

51. Изложить приближенную теорию длинных или приливных волн, объяснив сделанные при этом предположения.

Система таких гармонических волн, распространяющихся со скоростью с^, встречает отмель, на которой скорость волны равна показать, что это вызывает отраженную и проходящую волны, и сравнить амплитуды этих волн с амплитудой падающей волны.

Если после прохождения через отмель вновь восстанавливается первоначальная глубина, то показать, что отношение амплитуд волн до и после прохождения через отмель (пренебрегая эффектами кратных отражений) равно

4C1C2/(c,-1-2)2,

и что амплитуда всегда уменьшается независимо от того, пересекают ли волны отмель или глубокое место.

52. Вводя некоторые предположения, получить в канале переменного сечения уравнение приливного движения в форме

45. В канале ширина и глубина скачкообразно изменяются, причем ширина изменяется от величины bi до &2- Прогрессивная волна распространяется со скоростью вдоль части канала ширины 6i и частично отражается от места разрыва и частично переносится в область за разрывом, причем скорость прошедшей волны равна с2. Доказать, что в месте разрыва у канала отношение возвышений отраженной и падающей волн равно

46. Волна от землетрясения с прямолинейным гребнем распространяется вдоль дна океана постоянной глубины h, так что возвышение дна равно асоз2я(д:-ct)lX, где величина а мала. Показать, что амплитуда последовательных поверхностных волн равна