Пусть в некоторый момент времени состояние системы характеризуется оптимальным режимом, определяемым точкой на статической характеристике / (рис. 5.4, б). В этом режиме =1=01; (7=Gi = GonTi. Допустим, что под влиянием возмущений статическая характеристика G{X, f) объекта переместилась из положения / в положение 2. Тогда при отсутствии регулирования система перейдет из оптимального режима, характеризуемого точкой Ль в режим, характеризуемый точкой Л, лежащей на экстремальной характеристике 2. Очевидно, что такой режим не является оптимальным. Для приведения системы в оптимальное состояние в ней должны быть предусмотрены устройства, способные определить новое положение экстремума (точки Лг) и изменить координату X со значения Xi до значения Х2.

Рассмотренная картина определяет принципы построения систем экстремального управления и техническую базу для реализации этих принципов.

З.чдача экстремального управления упрощается, если известен . ,.л1он перемещения статической характеристики во времени. В таких случаях экстремальное состояние системы можно обеспечить с помощью программного управления.

При неизвестном законе изменения статической характеристики объекта ЭС строится как автоматическая поисковая система, обеспечивающая автоматическое слежение за положением экстремума статической характеристики. В такой системе осуществляются две операции, приводящие систему в экстремальное состояние: 1) поисковая (пробная) операция; 2) рабочая операция. В результате поисковой операции выявляется соотношение между текущим значением показателя качества управления J=G{X, f, и) и его экстремальным значением. В результате рабочей операции изменяется управляющее воздействие по закону, обеспечивающему перевод объекта в оптимальный (экстремальный) режим работы.

Для определения требуемого закона изменения управления сравниваются два соседних значения показателя качества G(X), отличающихся приращением аргумента X. Пусть исходное состояние системы характеризуется значением G{Xi). Изменяя сигнал управления, найдем G(X2) = G(Xi+hX). Если G(X2><(i)), то выбранное направление изменения управляющего воздействия способствует движению системы к экстремуму-максимуму. Если G{X2) <G{X{), то для приведения объекта в экстремальный режим необходимо изменить приращение сигнала управления на противоположный. Приведенные рассуждения относятся к объектам, в ста- тических характеристиках которых имеется экстремум-максимум. При статических характеристиках, содержащих экстремум-минимум, характер изменения управляющего воздействия будет противоположным.

Следовательно, поиск экстремума связан с определением крутизны статической характеристики объекта в точке, соответствующей данному режиму работы, т. е. с определением производной

dO(X)

dX Jx=x

/140

Рис. 5.5. Функциональная схема объекта управления в экстремальной системе

/!V0

Гу/73

ksignS

->г

И

sJim

ж

Рис. 5.6. Экстремальная система с определением знака производной функционала качества

где Хо - значение регулируемой переменной в текущий момент. Очевидно, что система окажется в экстремальном режиме при условии 5 = 0.

Описанный способ поиска экстремума по производной показателя качества получил название поиска экстремума по чувствительности. В практике ЭС широко применяются и другие методы поиска экстремума, например по знаку приращения AG, по экстремуму и др.

Структура системы экстремального управления в значительной степени зависит от принятого и реализуемого способа поиска экстремума. По этому признаку ЭС подразделяются на следующие типы: 1) с определением производной показателя качества; 2) с определением знака производной; 3) шаговые экстремальные; 4) с модулирующим поисковым сигналом; 5) с запоминанием экстремума.

После выхода на экстремальный режим ЭС функционирует как система регулирования по отклонению, в которой заданным значением регулируемой величины является ее значение, обеспечивающее экстремум функционала качества.

Структура одномерного объекта может быть представлена в виде последовательного соединения двух звеньев (рис. 5.5) - линейной части объекта (ЛЧО) с передаточной функцией У7(р) и экстремального звена (ЭЗ) со статической характеристикой, содержащей экстремум-максимум или экстремум-минимум.

На рис. 5.6 в качестве примера приведена функциональная схема системы экстремального регулирования, в которой экстремум статической характеристики объекта находится путем определения знака производной функционала качества G(X, f). В этой системе поиск экстремума основан на том, что знак производной функции G{X, f) однозначно определяет положение точки на статической характеристике объекта. Действительно, если статическая характеристика объекта имеет экстремум-максимум, то положительное значение производной означает, что точка находится на левой ветви характеристики, а отрицательное значение производной определяет точку, находящуюся на правой ветви характеристики (в случае экстремума-минимума - наоборот). В связи с этим ЭС снабжена устройством поиска экстремума (УПЭ), включающим в себя идентификатор (И) и вычислительное устройство (ВУ). Идентификатор предназначен для определения статической характеристики объекта G{X, f), а вычислительное устройство определяет

производную S =

dG(X.f)

действие, 134

пропорциональное

и формирует управляющее воз-

значению производной. Логическое

устройство (ЛУ) определяет знак производной. Управляющее воздействие, формируемое по закону u=ksignS, прикладывается ко входу регулятора (Р).

Остановимся кратко на особенностях построения многомерных систем экстремального управления. (Под многомерными ЭС понимаются системы, реализующие векторный критерий оптимизации, имеющие несколько выходных и несколько входных переменных.)

Общим условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю всех ее частных производных по параметрам. На практике экстремальное управление в многомерных ЭС ограничивается тем, что его необходимо обеспечить для одной выходной переменной, а для остальных - заданные граничные условия. В связи с такой постановкой задачи для оптимизации многомерных ЭС используются методы математического программирования, рассмотренные подробно в последующих частях книги.

В многомерных ЭС особое внимание уделяется разработке ..{ ;дств слежения за дрейфующим экстремумом.

Так же, как в одномерных ЭС, в многомерных системах экстремального управления имеют место операции поиска экстремума и рабочие операции, которые могут быть объединены. В последнем случае оптимальные управления определяются в процессе движения к экстремуму, когда каждый рабочий шаг играет роль поискового шага для последующего определения управляющих воздействий.

Многомерные экстремальные системы снабжаются устройствами вычисления градиента и устройствами формирования сигналов управления.

Как известно, градиент - это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой изменяется от одной точки пространства к другой. Например, для функции Н{х, у, z) составляющими градиента будут дН дН дН

дх ду dz

В многомерных ЭС в процессе поиска вычисляется градиент uG{X, и). Устройства, выполняющие эти вычисления, основываются на различных принципах, зависящих от методов определения

частных производных и применяемого алгоритма вычислении.

К широко применяемым методам определения частных производных относятся методы конечных приращений, производной по времени, синхронного детектирования и др.

Метод конечных приращений сводится к замене частных произ-дО AG

водных - отношениями конечных приращений --В про-

dui А -

цессе применения метода поочередно изменяются координаты управления щ и вычисляются соответствующие приращения состав-АО

ляющих градиента

объект оптимизации

Генератор дополнительных -, сигналов

Органы управления объектом -7-

Устройство формирования показателя качества

Задатчик функционала качества

и

Устройство ореанидации поиска жт,ремума

Оптимизатор

Метод производной аналогичен методу конечных приращений, отличаясь тем, что вычисляются частные дО

производные -а не ко-

Рис. 5.7. Принципиальная схема многомерной экстремальной системы

печные приращения.

Оба метода связаны с поочередными изменениями и вычислениями составляющих градиента, что влечет за собой значительное время определения градиента.

Метод синхронного детектирования основан на модулировании переменных управления дополнительными поисковыми колебательными сигналами различных частот и амплитуд При этом количество детекторов равно числу независимых переменных, определяющих экстремум функционала качества G{X,u). Если разложить функцию G{X,u) в ряд Тейлора по степеням приращения ДЫг, вызванных модулирующими колебаниями, то можно убедиться в том, что выходные переменные синхронных детекторов приблизительно пропорциональны частным дО

производным ---. Использование метода синхронного детектиро-

Olii

вания значительно сокращает время вычисления градиента VuG(X, и), так как составляющие градиента определяются по соответствующим независимым переменным параллельно. Это становится возможным потому, что модулирующие сигналы разделены по частотному спектру. Частоты поисковых колебаний выбираются (из условия обеспечения амплитуд колебаний на выходе объекта)

пропорциональными частным производным

Устройство формирования управляющих воздействий в многомерных ЭС содержит дополнительно ряд элементов, в том числе логических, необходимых для изменения переменных управления. Принцип действия устройства определяется методами организации движения системы к экстремуму, к числу которых относятся метод наискорейшего спуска, градиентный, покоординатный и др.

Метод наискорейшего спуска основан на организации поочередного движения системы в направлениях / до тех пор, пока не бу-

дет обеспечено условие = 0.

Метод градиента основан на изменении производных координат фазового пространства, пропорциональных изменению функционала качества в этих направлениях:

dXi dG / \ .

= а -: Axi = a[ - )M.

дХг

Покоординатный метод базируется на известном методе Гаус- Зайделя. Он связан с организацией движения в направлено

jjjjgjj :-, = о и имеет то достоинство, что позволяет использовать

принципы построения одномерных экстремальных систем.

На рис. 5.7 представлена принципиальная схема многомерной экстремальной системы.

5.5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Динамические процессы в экстремальных системах существенно отличаются от процессов в линейных непрерывных системах, в связи с чем требуется применение специальных методов исследования переходных режимов ЭС. Прежде всего, необходимо вводить дополнительные показатели качества управления в ЭС, обусловленные процессами поиска экстремума и работой системы в районе :1х^гремума функционала качества. Такими важными показателями являются показатели качества процессов поиска экстремума ш помехоустойчивость.

К основным характеристикам процессов поиска экстремума относятся: устойчивость процесса, сходящегося к окрестностям экстремума; степень приближения к экстремуму; быстродействие, определяемое временем выхода системы на экстремум после смещения экстремальной характеристики объекта.

Устойчивость поискового процесса зависит от структуры и параметров системы, от характера внешних воздействий, приводящих к перемещению экстремальной характеристики. Количественными показателями качества процессов поиска являются время поиска экстремума, амплитуда и период колебаний при движении к экстремуму, потери на поиск экстремума.

Для широкого круга экстремальных систем структурная схема объекта может быть приближенно представлена в виде последовательного соединения двух звеньев (рис. 5.8) - безынерционного нелинейного со статической характеристикой y=f{x) и апериодического с постоянной времени Т. В таких случаях уравнение объекта ЭС приводится к виду

T- + z = y = f{x), (5.29)

- = -[/()-]. (5.30)

Если f{x) имеет экстремум-максимум, а сама функция и ее первая производная непрерывны в интервале -оо<л;<оо, то f{Xa) -О и Г(л;э)<0, где ig -значение аргумента функции f{x), соответствующее экстремальному значению функции. Характер движения в экстремаль-

ной системе наиболее наглядно пред- 53 структурная схема

ставляется в координатах выход - объекта экстремальной системы

Рис. 5.9. Переходный процесс в экстремальной системе

вход объекта, а не выход - время , как было в непрерывных системах автоматического управления. Следовательно, переходный процесс в ЭС следует рассматривать в координатах Z, X, т. е. как функцию z{x). Эта зависимость может быть получена из (5.30) исключением времени.

Для определенности примем постоянной скорость перемещения исполнительного механизма, обеспечивающего формирование управляю-

щего воздействия, т. е. - и; и - ±:k; k - const. Тогда, исключив из (5.30) время, получим

= ±-[т-г]. (5.31)

Решая (5.31), можно получить зависимость z{x), характеризующую динамику экстремальной системы. Уравнение (5.31) удобно решать методом Эйлера (рис. 5.9).

Пусть момент включения регулятора характеризуется точкой Ml {Xi, Ух) на плоскости у; х или z; х. В соответствии с идеей метода Эйлера интегральную кривую г{х), проходящую через точку Mi, будем искать в виде ломаной линии, состоящей из прямолинейных отрезков, заключенных меркду ординатами аргументов x=Xi и X-Xi+i. Угол наклона каждого такого отрезка определится выражением . 2.

--- = fpiZi.Xi),

где Дл;=л;гч-1 - Xi. Кроме того, AziZi+i - 2 следовательно,

AZi=AX((>{Zi, Хг).

Наклон отрезка ломаной линии z{x) в точке Mi (рис. 5.9.) определим согласно (5.31) д^.

i=-[f(xx) -zi],

rRef{Xi) -значение функции y-f{x) при x-Xi. В точке Мг выходная величина 22=2i-f-A2i. Наклон ломаной линии z{x) в точке М^

Z2-[f{X2)~Z2].

Для других точек рассуждения аналогичные. Направления приращения величины z могут быть определены из рассмотрения условий работы исполнительного механизма, изменяющего переменную х. Действительно, пусть момент включения регулятора в работу t = ti и характеризуется точкой Mi{xi,Zi). Предположим при этом, что регулятор включил исполнительный механизм в сторону уменьшения переменной х. Тогда и = -к, а в правой части (5.31) будет также минус. Но так как z> (д;),

> О и, следовательно, в точке Mi уменьшение величины х

dz 17

сопровождается уменьшением величины z. Это будет продолжаться до тех пор, пока в некоторой точке Мг разность Zi - Z2 = z достигнет зоны нечувствительности Zh сигнум-реле. После этого исполнительный механизм экстремальной системы реверсируется, переменная х станет увеличиваться. В правой части (-Зу после

реверса исполнительного механизма будет знак плюс, а -j- -< О, так как f (х) < z.

В точке Мз, где f(x) = z, согласно (5.31), имеем = О, да-

лее до точки М4 (Х4, 2:4) производная > О и увеличивается вы-

ходная переменная z. В точке М4, где f (х) = z, имеем вновь -

- О, далее z>\[ x), -7- < 0. После достижения зоны нечувстви-

тельности Zh сигнум-реле, т. е. при возникновении условия 24-25= ..и, исполнительный механизм вновь реверсируется. Далее характер движения повторяется и продолжается до тех пор, пока не установятся автоколебания вокруг экстремального состояния системы. При этом переменная х будет совершать колебательные движения вокруг значения х - Xoui.

Автоколебания в ЭС отразятся на плоскости х; z фазовой траекторией в виде петли с координатами 2, i, Х2, симметричной относительно ординаты х = лгопт-

Переходный процесс в ЭС во времени, т. е. функция x{t), может быть получен путем решения уравнения (5.30), выполняемого аналогично. Однако представление динамики ЭС на фазовой плоскости 2, X более полно отражает ее свойства.

Как видно из рис. 5.9, в режиме автоколебаний в районе экстремума Z < 2тах, Т. е. Среднее значение выходной величины объекта меньше экстремального. Это вызвано остановкой исполнительного механизма, обусловливающей рыскание изображающей точки вокруг х-Хотп. Величина Хтах-z=Xn называется потерей на поиск. Используя теорему о среднем значении функции, величину х-а можно определить из выражения

2п - 2тах - Z - 2тах

Х2 - Х1

\(p(x)dx.

где (р(х) -часть фазовой траектории, образованная одной BeTBbK> петли автоколебаний вокруг экстремума от д; = до х = Х2.

Потери на поиск - один из показателей качества управления в экстремальных системах. Другой важной характеристикой качества ЭС является амплитуда Ж/2 автоколебаний на входе объекта. Меньшее значение Ж/2 соответствует более качественной работе ЭС. Амплитуда Ж/2 обычно представляется в относительных единицах, в которых за базовые приняты значения лгщах-Xmin-

- .

Поскольку экстремальные системы являются автоколебательными, то в задачу динамического расчета входит определение параметров автоколебаний: периода автоколебаний выходной величины объекта; амплитуды колебаний входной и выходной величин, среднего уровня Z автоколебаний. Исходными данными для расчета параметров автоколебаний являются статическая характеристика y=f{x) объекта управления, постоянная времени объекта Т, скорость перемещения выходного вала исполнительного механизма dx

= к, зона нечувствительности сигнум-реле z.

Задача определения параметров автоколебаний экстремальных систем может быть решена либо аналитическим, либо графоаналитическим методом.

Точным аналитическим методом задача решается в таком порядке: 1) составляется и решается дифференциальное уравнение движения в ЭС при произвольных начальных условиях; 2) определяются максимум решения и значения выходных величин, обусловливающих реверс исполнительного механизма; 3) на решение накладывается условие периодичности; 4) определяются параметры периодических движений, которые являются параметрами автоколебаний.

Точные методы исследования автоколебаний ЭС весьма трудоемки, поэтому во многих случаях целесообразно использовать различные приближенные аналитические методы. Один из таких методов базируется на решении дифференциальных уравнений методом Галеркина, который хотя и дает приближенное решение, но позволяет получить любое приближение к точному решению за счет увеличения числа итераций. Важным достоинством метода является то, что повышение порядка исходного уравнения принципиально не усложняет решения. Следует, однако, подчеркнуть, что и приближенные аналитические методы анализа автоколебаний ЭС весьма трудоемки. .

Поскольку ЭС является типичной нелинейной системой, к ее исследованию полностью применим метод гармонического баланса, рассмотренный в гл. 3. Метод применим лишь к тем ЭС, которые обладают свойством фильтра низких частот.

.5.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ. УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕ1ШЯ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

Теория систем экстремального регулирования (СЭР) была разработана в основном в 60-х годах. Большой вклад в развитие теории СЭР внесли работы В. В. Казакевича, которые использованы при написании параграфов 5.6 и 5.7.

Устойчивость экстремальных систем определяется устойчивостью автоколебательных движений в них. В неустойчивой ЭС

Рис. 5.10. Устойчивость экстремальной системы

автоколебания принимают расходящийся характер, система удаляется от экстремума и становится неработоспособной.

Условия устойчивости ЭС рассмотрим с позиций классической теории устойчивости А. М. Ляпунова, в соответствии с которой в устойчивой динамической системе достаточно малый сдвиг начальных условий приводит к возникновению возмущенного движения, сколь угодно мало отличающегося от невозмущенного.

Допустим, что периодическое движение в ЭС началось из состояния, характеризуемого точкой М\{хи z{) (рис. 5.10), объект имеет симметричную статическую характеристику y-f(x), а ре-ше -с дифференциального уравнения системы имеет вид z= =(р{х, Хи Zi). Допустим, что реверс исполнительного механизма произошел в точке фазовой плоскости Мз{хз, Zs). В этом случае можно записать

23 Ф2(х1,г,) - Zh; Хз = фз(хь 23, Zi) = фз[ф2(л:1,г1)х1, Zi].

Предположим, что возмущения, приложенные к системе, нарушили периодическое движение и следующий реверс осуществится не в точке Mi{xi, Zj), а в точке Mi, отстоящей от точки Mi на расстоянии г.

Охватим точки Mi и Ms окружностями радиуса г= -У (Дх) (Дг) 2. Положим, что следующий цикл периодического движения начинается в точке Mi или любой другой точке, находящейся на окружности радиуса г, проведенной из точки М, как из центра. Движение системы будет устойчивым по теории Ляпунова, если следующий реверс исполнительного механизма произойдет в некоторой точке Мз с координатами, лежащими внутри окружности радиуса г, проведенного из точки Мз как из центра, причем радиус г достаточно мал.

Дальнейшие рассуждения справедливы для условий, при которых функции Z3 и Хз имеют непрерывные частные производные по всем переменным в любой точке внутри окружностей радиуса г и с центрами в точках Mj и Мз. Разложим функции Zs и Хз в ряды Тейлора, приняв приращения Az и Дх столь малыми, что можно пренебречь членами разложения выше первого порядка. После разложения при таких условиях получим

Z3 (Zi -j- Az, xi -j- Дх) =

d<p2{Xl,Zl) d(p2XXl,Zl)

(p2{xuZi)-\-Ax--j:,-H-Az-

(5.32)

хз(2, -j-Az; Xi4-Дх) = 93[92(xi,zi),xi,zi] -f-, . difs[2{xuzi),xuzi\ Фз[ф2(д;1 zi]

,-f-Ax---Ч-Az---

dxi ozi

(5.33)

Перепишем (5.32) и (5.33) в сокращенной форме, учитывая, что фз - сложная функция, зависящая не только от начальных условий, но и от функции ф2, которая также зависит от начальных условий:

23 = (f3 + x - +Az

Zh,

йфз дгз

+ AZ

dzi-йфз dzz

(5.34)

(5.35)

dz3 дх dza dzt

Так как в процессе автоколебаний фазовая траектория z{x) замкнута, то Z3=Zu хз=-xi, т. е.

{ 4>2{Xl,Zi) -Za = Zu \(p3[(p2{XuZi),XuZi] = -Хи

Преобразуем (5.34) и (5.35) с учетом (5.36):

(5.36)

Z3 = z, + Ax~ + Az-g- ,

Хз = -Ху -f- Ах

I Фз \ dxi

йфз dzi

dzz дх-

/ Йфз Йфз dZi \

(5.37)

(5.38)

Возмущения вызовут асимметрию автоколебаний. Степень асимметрии проявляется в изменениях координат, очевидных из (5.37) и (5.38):

дц>2

Az = Z3 - Z1 = Ах ---Ь Az

А^ = з|-1=Дх( +

бфз dz3

dzs дх

(5.39)

(5.40)

Условие устойчивости автоколебаний системы по Ляпунову, требующее попадания изображающей точки Мз возмущенного движения внутрь окружности радиуса г, формализуется в виде

(Az) + (Ах2) > фз йфз йгз

Ф2 dZi 1

или

. г . / Фз бфз дгз \ ( йфз йфз dzi \