Применяя теорему Гаусса ко всему объему, содержащемуся между поверхностями Z и Л, получаем

0 = - 5 n[0-q(q; q)IdS+5 n[ф- q (q; q)] dS.

(A) (I)

Ho n(q; q) = (nq)q, и эта величина обращается в нуль на поверхности крыла А, потому что для вязкой жидкости q = О на А, а для невязкой жидкости nq=0 на А. Следовательно, сила, действующая на крыло, будет равна

F= jj nФdS=jj [nФ-e(nq)qldS. (1)

(А) (2)

Используя далее выражение (6) из п. 19.02, получаем

F=J [-pn-Q(nq)q + --[in(yq)-[inxS] dS4-

+ 2 jj ti[(nV)q-n(yq) + nX SI dS. (2)

Ш

Эта формула представляет собой общий результат, который применим к любому установившемуся движению сжимаемой вязкой жидкости независимо от того, являются ли Q и р постоянными или функциями от координат.

Покажем теперь, что если ц является постоянной величиной, то второй интеграл в этом выражении обращается в нуль. По формуле двойного векторного произведения с учетом того, что 5 = У х q. имеем

[(ny)q-n(Vq)4-nX S1 dS = jj (nxy)XqdS = 0;

(1) (2)

последний интеграл равен нулю согласно равенству (5) из п. 19.70.

Итак, если р является постоянной величиной, то сила, действующая на крыло, определяется первым интегралом в выражении (2).

Допустим теперь, что не только р., но и q является постоянной величиной, т. е. что мы имеем дело с однородной вязкой несжимаемой жидкостью. Тогда yq = 0, и сила, действующая на крыло, будет равна

F= jj [-pn-[inxS-Q(nq)q]dS. (3)

19.75. Приближенное решение Озеена для достаточно больших расстояний от тела. Замкнутая поверхность 2, показанная на рис. 337, произвольна. Будем полагать, что эта поверхность представляет собой сферу достаточно большого радиуса, такого, что можно записать

q=V4-v, р = П + р'. (1)

где v и р' - возмущения первого порядка малости относительно равномерных невозмущенных значений скорости V и давления П. В этом случае уравнение движения можно брать в форме Озеена (см. п. 19.62):

Для удобства введем параметр k, определяемый равенством

V = 2Ь. (2)

U = In tg 9, 5о = fm (и) cos тш или Sq = fm(u) sin та;

тогда

Тогда уравнения движения и неразрывности примут вид

Iyp = v(y=-2A:)v, Vv = 0. (3>

Из уравнений (3) следует, что VV = О, т. е. р' представляет собой гармоническую функцию. Если положить

P = qV. V4 = 0, (4)

то получим следующее частное решение уравнений (3):

v=qi=-V9. (5)

Полное же решение будет иметь такой вид:

v = qi + V2, (6)

где V2 удовлетворяет уравнениям

r-2A:-)v2=0, VV2=0. (7)

Исследуем подробно решение (5). На сфере очень большого радиуса это решение должно обращаться в нуль. Поэтому следует предполагать, что соответствующий потенциал скоростей, выраженный в сферических координатах г, 9, ш, будет представлять собой сумму гармонических функций вида 5 (9, О)) - *!; главный член здесь будет иметь вид

So (6, м) Фо---

Подставляя это выражение в уравнение (2) из п. 16.10, получим уравнение, которому должна удовлетворять функция So:

Чтобы решить это уравнение, положим

\ 2

и = Аг.е- + В^е^- = Л„ (ctg 1 о)* + Б„ (tgi о) .

Второй член здесь стремится к бесконечности при 9 -> п (т. е. на луче, направленном вверх по потоку). Так как мы рассматриваем ограниченные решения, то надо положить = 0.

С другой стороны, первый член в этом выражении стремится к бесконечности при О->0 (т. е. в вихревом следе). На первый взгляд кажется, что в этом случае также надо потребовать, чтобы = 0. Но, как это будет видно из последующих вычислений (см. стр. 560), при /1 = 0 подъемная сила равняется нулю.

Исследуем случай m = 1. В этом случае частное решение для потенциала будет равно

Ф10=--J-ctgyO(acos(D--psina)). (8)

yq,= -у ф= -2k

Поэтому к решению надо будет прибавить еще одну скорость qa, которая удовлетворяет уравнениям

(у*-2)чз = 0 и Vq3 = 2.

так что У (qa -- q3) = 0. Предполагая, что решение qs имеет вид

-к (г-зс)

q, = --(aj-bPk).

найдем, что

Vq3 = -(l+kr) {а'у + Pz).

g-k (r- )

сравнивая последнее выражение с величиной 2кд1дх, которая следует из решения (10), получаем а'=-2fea, Р'= - 2fep, и соответствующая скорость равна

q3=-v- --( J + PM- (12)

Заметим, что скорость q3 перпендикулярна скорости V, так что Vq3=0. Полное решение, построенное указанным способом, имеет вид

q = V + qi + q24-q3--q4. (13)

Здесь qi - безвихревое решение, связанное с давлением [уравнение (4)] и содержащее особый член qio, который вычисляется через ф^ [уравнение (8)1 и обращается в бесконечность при 9 = 0; q2=-Уф -частное решение, в котором ф определяется формулой (10) и которое построено так, что особенности фю и ф в вихревом следе при 9 = 0 взаимно уничтожаются; qs-еще одно частное решение, которое построено так, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности V (qa-Hqs) = 0; q4-произвольное

Скорость Qio, которую отсюда можно определить, становится бесконечной при 9 = 0. Чтобы устранить эту особенность, положим Vj = qa -f v3, где qj выбрано так, что оно удовлетворяет уравнениям

(r-2ft-)q, = 0, q,= -V. (9)

Потенциал ф определяется так, чтобы

(Г-2*-)г|з = 0, или (У*-/г*) (е-*ф)=0.

Нетрудно проверить, что это уравнение имеет частное решение

е ф =ctg у 9 (а cos О) 4-р sin (О), A; = rcos9, (10)

а комбинация

1 -&г(1-совв) J

ф1о + Ф= - ,-ctg у 9 (а cos О)+ р sin (О) (11)

не обращается в бесконечность пря 6 = 0, потому что член cosec у 9, который вызвал эту особенность, уничтожается. Однако функция qj, определенная из уравнения (9), не удовлетворяет уравнению неразрывности, так как

(2) (2)

1) За приведенное выше исследование решения автор признателен Стивенсону (А. С. Stevenson) и Уиглсуорту (L. А. Wigglesworth).

решение, которое удовлетворяет уравнению Озеена (7) и уравнению неразрывности ).

Скорость q, которая выражается формулой (13), является конечной и непрерывной на всей поверхности сферы S.

Наличие экспоненциального множителя в qs показывает, что этой скоростью можно пренебрегать, если только величина г - х не является малой, что имеет место в вихревом следе, который на больших расстояниях более или менее четко ограничен поверхностью параболоида г - х = г, где е -малая постоянная величина. Вихрь появляется только за счет членов V X qs и У X q4, поскольку У X qi = У X qj = 0. Ниже будет показано, что величина У х q4 не оказывает влияния на силы, действующие на крыло; таким образом, действие вихря по существу связано только с вихревым следом.

Следует подчеркнуть, что в описанном выше приближенном методе рассматривалось только решение на сфере достаточно большого радиуса; что же касается течения в окрестности крыла, то здесь этот метод ничего не может дать.

19,76. Подъемная сила и сила сопротивления. Согласно формуле (3) из п. 19.74, сила, действующая на крыло, представляется так:

F=P + Q + R,

где

Р= -J pnd5, Q= - J nnxSdS, R= - 5 Qq(nq)dS. (1)

(S) (S) (S)

По формулам (1), (4) и (13) из п. 19.75 имеем

p = n4-p = n + eV = n-QVq - р= - П + qVv -QVqj -QVq*,

где

v = qi + q2 + q3 + q4 и Vqa = 0.

Но поскольку \ ndS = 0, то

P = q\ n(Vv)-Q5 n(Vq,)dS-o5 n(Vq4)dS.

(2) tf) (S)

Далее, с точностью до членов первого порядка q(nq)=V(nV) + V(nv) + v(nV), а по уравнению неразрывности nvdS = 0; следовательно,

P + R = e Vx(nXv)dS-QV 5 (nq4)dS4-

(2) (2)

+ е q4X(Vxn)dS-Q n(Vq2)dS. (2)

Введем обозначение

Q(nq4)dS; (3)

величина / представляет собой приток жидкости внутрь поверхности 2, связанный с произвольным решением дл; этот приток в основном происходит в области вихревого следа.

Далее, векторная циркуляция по поверхности 2 будет равна

Г = пХ vdS= пх qidS-f пХЯг5+ пх q3dS + пх Я45. №) (s) (s) (!е) (s)

Первые два интеграла в правой части этого равенства дают векторные циркуляции, соответствующие скоростям и qz безвихревых движений, и, согласно п. 19.70, должны обращаться в нуль. Таким образом, можно считать, что Г=Гз-НГ4, где Гз и Г4 -векторные циркуляции, соответствующие скоростям q3 и q4. Наконец, положим S3 = Vxq3, S4 = Vxq4; тогда в силу формул (1), (2) и (3)

F = QVxr3--V/ + F + F, (4)

где

F=-c5 n(Vq,)dS-5 inxZidS, (5)

(2) (S)

F = QVxr4-bQ 5 q4X(Vxn)dS- J nnxSidS.

(2) (2)

Докажем теперь, что F = 0. Поскольку Vq4 = 0, то формула (IV) из п. 2.32 дает

VxS4 = vx(y xq4)= -y*q4

В

Vx(q.Xi)=(iy)q4 = .

Так как q4 удовлетворяет уравнению (7) из п. 19.75, то

VxiS4 + 2*q4X П = 0.

Следовательно, существует некоторая скалярная функция 2, такая, что

S4 + 2/jq4Xi = VZ;

значит,

5 nxS4dS=J n(nxy)ZdS-2/jn 5 n х (q4 X i) dS.

(2) (2) (2)

Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль в соответствии с формулой (5) из п. 19.70, а 2k\i = QV по формуле (2) из п. 19.75; тогда

J HnxE4dS= -Q nx(q4XV)dS

(2) (2)

и

q 5 q4X(Vxn)dS- J цпх54 dS= -qVx [ nxqid5= -еУхГ ,

(2) (2) (s)

и, следовательно, F* = 0.

1) Filon L. N. G., Forces on а cylinder, Proc. Roy. Soc., ПЗА (1926). a) Garstang T. E. Phil. Trans. Roy. Soc, 236 A (1936), 25.

Возвращаясь к выражению (5), можно показать, что F->0, когда радиус сферы 2 стремится к бесконечности. Этот результат представляет собой простое следствие из выражений для qa и qa, приведенных в п. 19.75, и вывод его мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

Теперь получим из равенства (4) асимптотический результат F = L + D,

где

LqVxTj, D = V/. (6)

Сила L перпендикулярна к скорости V и является подъемной силой, а сила D -силой сопротивления. Точность этих результатов тем лучше, чем больше радиус сферы 2. Они представляют собой обобщение теоремы Кутта - Жуковского для невязкой жидкости и формулы Филона) для плоского движения вязкой жидкости. Здесь Гз -векторная циркуляция по поверхности 2, обусловленная скоростью qt, а / - приток жидкости в вихревой след, обусловленный скоростью qi.

Чтобы упростить выражение для Гз, положим qfVal + Wgk, тогда

Гз = 2пг* (изк - wai) sin 9 cos 9 dQ. о

Введя обозначение u=cos9, получим

Гз = 4п/гг (Pi - ак) е- J е' - ы du = 4я (pj - ак) [1 + e- - (1 - е-2*)/(Аг)].

Отсюда Гз-4я(Р] -ак) при / ->оо, что приводит к следующему выражению для подъемной силы:

L = QVxr3 = 4nQV(aj + pk).

Этот результат подтверждает приведенное в п. 19.75 утверждение, что подъемная сила будет равняться нулю, когда обе величины а и Р обращаются в нуль.

Из полученных выше результатов можно показать, что составляющие подъемной силы определяются циркуляциями по кругам достаточно большого радиуса, представляющим собой сечения сферы 2 диаметральными плоскостями О) = О и О) = я/2. Циркуляция же по любому замкнутому контуру, не охватывающему кормовой вихревой след, равна нулю*).

19.80. Подобие. Рассмотрим уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости

--f (qy)q=-y() + vV*q (1)

и предположим, что имеется другое движение той же или иной жидкости которое отличается от первого только масштабами длины (\) и времени (х). Во втором движении соответствующие величины отметим штрихами; тогда

+ (Ч') Ч' = - ( f) + Ч'- (2)

Рассматриваемые движения называются подобными, если из уравнения (1) можно получить уравнение (2) умножением каждого члена в уравнении (1) на один и тот же постоянный множитель, скажем на а.

Положим

г=Яг, t = xt; (3)

для подобия должны выполняться равенства

ql aq д' ад р' ар vg [avg t ~~Г Т'~ г Qr ~ог г' ~ ri

Отсюда после деления получим

3 гЧ£ fpl cYi Qr дг д rit р ~ Qgi V ~ V

и, следовательно, в обоих движениях должны быть одинаковыми числа Рейиольдса qrh. Поскольку уравнение неразрывности, так же как первые два вышеуказанных условия, удовлетворяется в силу равенств (3), то отсюда следует, что равенство чисел Рейиольдса является необходимым и достаточным условием для подобия движений.

В экспериментах, проводимых в аэродинамических трубах на моделях, величины q и г' для трубы и для модели будут меньше, чем те же величины для натурного объекта, в то время как коэффициент вязкости v будет одинаковым в обоих случаях. Это приводит к необходимости применять аэродинамические трубы, работающие на сжатом воздухе, для того чтобы можно было уменьшить величину v = fi/q за счет повышения q.

При сопоставлении силы сопротивления и подъемной силы для двух течений надо иметь в виду, что любую из этих сил можно записать в следующем виде:

F = 4-ef/V/(Re),

где Re - число Рейиольдса, U - характерная скорость, г - характерный линейный размер. Безразмерная величина / (Re) в зависимости от рассматриваемой силы будет называться коэффициентом сопротивления, или коэффициентом подъемной силы.

19,81. Пограничный слой. Известно, что когда жидкость обтекает твердую границу, то уже на небольшом расстоянии от этой границы достигается полная величина местной скорости течения, в то время как в месте соприкосновения со стенкой жидкость обычно предполагается неподвижной. Гипотеза Прандтля о пограничном слое сводится к предположению, что в окрестности твердой границы существует тонкий слой, внутри которого силы вязкости и инерции сравнимы по своей величине, тогда как вне этого слоя влияние вязкости пренебрежимо мало и жидкость ведет себя как среда без трения ). Чтобы выяснить, как применение этой гипотезы влияет на уравнения движения вблизи твердой границы, рассмотрим плоское течение, в котором в ка-

честве границы примем ось х (рис. 338).

Проведем из точки Р отрезок, параллельный оси ординат, и отложим в каждой его точке вектор, изображающий составляющую скорости и вдоль оси X в этой точке отрезка. Согласно гипотезе Прандтля, концы этих векторов должны лежать на некоторой кривой, имеющей асимптоту, параллельную

1) О развитии пограничного слоя см. в работе Гольдштейна и Розенхеда [Goldstein, Rosenhead, Ргос. Cambr. Phil. Soc, 32 (1936)].

-\дх ду)- ду

Из уравнения (4) можно вывести интегральное соотношение Кармана, помощью уравнения (5) получим

ди , ди ди , д , . dv д(и^) , й , ,

ОСИ ординат. Мы будем считать, что скорость и достигла полной величины скорости течения, если эта скорость становится меньше скорости U на некоторую малую фиксированную произвольную величину, выраженную в процентах, например на величину, равную одному проценту. Это условие и определяет толщину пограничного слоя. Можно дать различные подобного типа определения толщины пограничного слоя; каждое из них приводит к своей мере h толщины пограничного слоя, но порядок всех этих величин будет одинаков. Очевидно также, что градиент скорости duldy будет очень большим, когда у в пограничном слое меняется от О до Л. С другой стороны, поперечная составляющая скорости v будет малой величиной всюду в пограничном слое. Рассмотрим теперь уравнения движения

ди , ди . ди i др , /д^и , д*и\

dtdxdy Q ду \дхдуJ

Введем переменную т), определяемую равенством у = кц. Тогда г\ будет безразмерной переменной, сравнимой по порядку величины с переменной х. Нужно также положить v = hvo, где Vq сравнимо с ы. В этих переменных написанные выше уравнения примут вид

ди , ди , ди 1 Зр , д'и , \ д^и ...

Заметим, что в уравнении (1) членхди/дх пренебрежимо мал по сравнению с другими членами. В то же время надо считать, что последний член этого уравнения, который представляет собой силу трения, имеет такой же порядок, как инерционный член иди/дх. Принимая порядок этого последнего члена за единицу, увидим, 4T0v ~ Л* или h Vv. Таким образом, толщина пограничного слоя пропорциональна корню квадратному из коэффициента кинематической вязкости. Из этого результата следует, что в уравнении (2) все члены, кроме одного, имеют порядок h и, следовательно,

1 = 0. (3)

Итак, давление в пограничном слое не зависит от у, и наши уравнения сведутся к уравнению (3) и уравнению

которые вместе с уравнением неразрывности

определяют движение.

Вихрь в пограничном слое равен

Проинтегрируем, далее, уравнение (4) от О до А

о о

[uv]=.Uv, = uldy=-ul§dy.

Следовательно,

0 0 о

поскольку ди/ду = 0 при y=h.

Изучим теперь несжимаемый пограничный слой в случае обтекания плоской пластинки, расположенной острой кромкой (дс=0) к набегающему потоку. Следуя Ламбу, предположим, что распределение скорости подчиняется здесь закону

и=и sin. (7)

При таком законе выполняются необходимые условия u = U, ди/ду = 0 при y = h и ы = 0, д'и/дуО при у = 0; последнее условие вытекает из уравнения (4), потому что если градиент давления др/дх равен нулю вне пограничного слоя, то он должен равняться нулю и внутри него. Подстановка выражения (7) в интегральное соотношение (6) для случая установившегося движения дает

дх~ 4-я h

откуда получим формулу для толщины пограничного слоя

а ая vx л - (4 я) и

Сила трения на стенке = 0 определяется соотношением 2fi(nV)q4-pnxg = 2fi(m4-ju) + WXk(--) , поскольку n = j; отсюда, полагая у=0, найдем

Таким образом, силу сопротивления (трение жидкости об обе стороны пластинки длиной /, измеряемой от передней кромки) получим, удваивая написанное выше выражение и интегрируя его от О до /:

где Re = ( /v -число Рейиольдса.

Полученный здесь коэффициент 1,310 хорошо согласуется с коэффициентом 1,328, найденным Блазиусом без применения интегрального соотношения Кармана и специального предположения (7).

Теория пограничного слоя служит полезным руководством при проведении экспериментальной работы и дает качественное описание вязкого

движения вблизи границы тела, но приложения этой теории носят пока опытный, эмпирический характер.

19.82. Уравнения в естественных координатах. Рассмотрим в установившемся плоском движении линию тока ОР и ее ортогональную траекторию ON (рис. 339).

Оси координат в точке О направим по касательной и по нормали к линии тока. Уравнения движения в естественных координатах для невязкой жидкости были даны в п. 4.25. Чтобы получить аналогичные уравнения для вязкой жидкости, надо вправые части уравнений из п. 4.25 добавить члены, соответствующие vV*u, где и = и -f- iy = qe, а 6 - угол

Рис. 339.

наклона касательной линии тока в точке Р к оси Ох. Нам потребуются значения некоторых величин в точке О, где 6=0. Пусть ds и d/i -элементы дуг ОР и ON, а X, и х„ - соответствующие кривизны в точке О; тогда при 6 = 0

Кроме того.

дх ds

= COS 6,

f = sin6, j=-sinO.

= COS 0;

следовательно, дифференцируя последние выражения и полагая затем 0=0, получаем

= 0.

- -*П1

Далее, если f -некоторая функция от х и у, то

df дх df ду дх ds dy ds

df df dx df dy dn ~ dx dn dy dn

ds ~ ds \dx J ds dx ds ds \ dy J ds ~ dn ~ dn\ds J dn dx dn dn \ dy J

dn dy dn

dy ds df dy

Таким образом, в точке О имеем

df df df

ds дх дп ду df

av а / df\ di

M~dFdx J dy ~ ax2 dn

dV a (df\ dl d dl

Ш~ dK\dy J dx~ дуг as