19.12. Диффузия вихря. Если движение происходит по окружностям с центрами на оси г, причем скорость является функцией расстояния г от этой оси, то, согласно уравнению (I) из п. 19.11,

dt к, дП г дг J

Последнее уравнение идентично уравнению радиального распространения тепла на плоскости)). Значит, в случае изолированного прямолинейного вихря интенсивности х, который в начальный момент времени совпадает с осью Z, будем иметь следующее решение:

C = expf

Это решение, как легко проверить дифференцированием, удовлетворяет уравнению (1). Тогда циркуляция по окружности радиуса г будет равна

г

t,2nrdr = 2ny, 1 -ехр( -

Когда /0, циркуляция равняется 2ях; при оо циркуляция стремится к нулю. Этот факт показывает, как быстро затухает вихрь благодаря вязкости, которой он был обязан своим возникновением*).

19.13. Циркуляция в вязкой жидкости. Если С -циркуляция по некоторому замкнутому контуру, движущемуся с жидкостью, то

С=5 qdr,

где интеграл берется по этому контуру.

Согласно формуле (2) из п. 3.51 и уравнению (6) из п. 19.03, получаем

J [-V ( + fi) + vV*qJ dr = v V*q-dr= -v J (VxS)dr.

Следовательно, когда контур движется вместе с жидкостью, скорость изменения циркуляции зависит только от вихря в окрестности этого контура. Значит, если жидкость в начальный момент времени покоилась (С = 0), то циркуляция может возникнуть только из-за диффузии вихря от границы внутрь жидкости (см. п. 19.11).

19.21. Диссипация энергии. Рассмотрим поверхность 2, которая движется с жидкостью и, значит, все время содержит внутри себя одни и те же частицы жидкости. Кинетическая и внутренняя энергии жидкости, заключенной внутри 2, будут равны

(v) (v)

1) Cars law. Conduction of heat, Cambridge, 1921. ) В вихрях больших развиваются средние,

В тех-еще меньшие, и... так до трения. Приписывается Л. Ф. Ричардсону. (Перевод Ю. Д. Шмыглевского).

eaq - QFq - v (Oq) + q - Q 1 dx = о,

V(Oq) = (VO)q + (OV)q. (8)

Если подставить это соотношение в уравнение (8) и учесть уравнение (2), то получим

\ [-Wч-] dx=o. (9)

1) о втором коэффициенте вязкости см. в приложении. -Лрцж. ред.

где интегралы берутся по объему V, ограниченному поверхностью 2. Здесь £ -внутренняя энергия, отнесенная к единице массы (см. пп. 1.60 и 20.01).

Скорость изменения во времени величин Та и У в соответствии с формулой (2) из п. 3.20 будет равна

(v) iv)

где а представляет собой ускорение, которое определяется уравнением движения (1) из п. 19.03

Ca = QF--VO. (2)

Для общности рассуждений введем второй коэффициент вязкости X, связанный с модулем всестороннего сжатия х (объемным модулем упругости, см. теорию упругости) соотнощением)

х=Я-ь|ц. (3)

Если х = 0, то имеем случай, рассмотренный в п. 19.02. Далее, введем тензор скоростей деформации D, определяемый так:

0= j(V;q-bq;V). (4)

Отметим, что первый скалярный инвариант этого тензора (см. п. 2.16) будет равен

£>i = Vq. (5)

В этих обозначениях тензор напряжений (5) из п. 19.02 примет обобщенный вид

Ф=-p/-b(x--)/Di + 2nD. (6)

Тогда будем иметь следующее уравнение баланса энергии. Изменение в единицу времени кинетической и внутренней энергии равняется сумме работы в единицу времени сил напряжения на границе 2, работы в единицу времени внешних сил, приложенных к телу, и количества тепла, подводимого в единицу времени:

+7= 5-(nO)qdE-b5 QFqdT+J QdT. (7)

(2) (V) (v)

Здесь Q -количество тепла, которое подводится в единицу времени к единице объема, например, за счет теплопроводности через поверхность 2 или за счет излучения от источников, находящихся вне объема V.

Если воспользоваться равенствами (1) и теоремой Гаусса, то уравнению (7) можно придать вид

Поскольку объем, по которому мы интегрируем, является произвольным, то подинтегральная функция должна обращаться в нуль и, следовательно,

Q- = Q + (OV)q. (10)

Но, в соответствии с формулой (4)

V; q = D-bl(V;q-q; V),

причем тензор, стоящий в скобках, является антисимметричным, тогда как тензоры Ф и D являются симметричными. Поэтому, согласно п. 2.16,

(OV)q = 0 .. (V;q)=0 D,

и, следовательно, уравнение (10) примет вид

Q- = O..D-bQ. (11)

Если Т -абсолютная температура, а S -энтропия, то по формулам (4) и (9) из п. 20.01 будем иметь

TdS=dE + pd(\/Q). (12)

Величина TdS/dt представляет собой приток тепла в единицу времени на единицу массы жидкости; тогда приток тепла в единицу времени на единицу объема жидкости будет равен

гг dS dE , d / l\ dE , гл /юч

поскольку по формуле (5) из п. 3.20 D/ = Vq= -(\/Q)dQ/dt. Таким образом, равенства (11) и (13) дают приток тепла в единицу времени на единицу объема

ЯТ = Ф D + pDi + Q. (14)

Но Q есть количество тепла, которое подводится в единицу времени за счет теплопроводности и других внещних факторов. Следовательно, величина

ад = ф .. D + pDi (15)

представляет собой приток тепла в элементе жидкости в единицу времени на единицу объема за счет других форм энергии. Значит, Wt является скоростью диссипации энергии, обусловленной внутренним трением, и по этой причине указанная величина называется диссипативной функцией.

Воспользуемся теперь равенством (6) и заметим, что D .. I = Dj; тогда

ш, = 2ц[(0 D)--iDj]-t-xDJ. (16>

Для сферически симметричного растяжения или сжатия член в квадратных скобках обращается в нуль. Последний же член в выражении (16) обращается в нуль, когда

х = 0 или Di = 0.

Для несжимаемой жидкости Di = 0 в любом случае, поэтому здесь х не будет входить ни в выражение (16), ни в выражение (6).

Для газа Dj фО, и вопрос о том, равно ли х нулю, остается открытым-

Если воспользоваться формулой, приведенной в примечании к п. 19.02, то в декартовых координатах можно записать следующее равенство:

г, в=1, 2, 3

Тогда

= 2ц [ 2 {е\, + е\, + е\) + (е^ - еза)* +1 (еза - бц)* + \ (вц - 622) ] +

Это выражение является существенно положительным и может обращаться в нуль лищь в том случае, когда жидкость движется подобно твердому телу, так как при этом вц = ejj = 633 - е^з = 631 = = 0. Заметим, что для несжимаемой жидкости

= 2ц (D .. D) = 2ц {е\, + + + 2eJ, + 2eJ, + 2eJ,).

Аналогичным путем можно установить, что в случае несжимаемой жидкости, заключенной в неподвижной замкнутой оболочке S, скорость диссипации энергии будет равна

ц^Мх + гЛ [n(qxS)-]dS. (V) (S)

Но на неподвижной поверхности q = 0; следовательно,

<V)

и можно считать, что энергия рассеивается со скоростью ц^* на единицу объема.

19.22. Приток тепла в жидкости. Вопрос о диссипации энергии связан с притоком тепла в жидкости в единицу времени.

Рассмотрим несжимаемую жидкость, заключенную внутри некоторой неподвижной замкнутой геометрической поверхности S (см. рис. 53). Пусть п -единичная нормаль к элементарной площадке dS. Возьмем промежуток времени Количество тепла внутри поверхности S будет увеличиваться за счет тепла, вносимого потоком вещества через границу. Если Т представляет собой температуру, то этот приток тепла будет равен

\ (nq 60 QcdS, (1)

где с -удельная теплоемкость жидкости.

Тепло будет также увеличиваться за счет теплопроводности на границе. Если /с - коэффициент теплопроводности, то это количество тепла будет равно

-K(nV)TdS6t. (2)

В жидкости будет также иметь место приток тепла в результате выделения энергии за счет трения. Эта величина, согласно п. 19.21, будет равна

\ w,dx8t. (3)

Полный приток тепла внутри поверхности S будет

-l\{QcT)dx6t. (S)

Поскольку (4) = (1) + (2) + (3), то

J (QcT)dx- jj(nq) QcrdS= jj Мт- Kin)TdS.

(V) (S)

Ho no теореме Гаусса

5 (nq) (QcT) dS = - 5 ((QcT) vq + (qv) (О^Т^)] dx,

причем здесь уЧ = 0. a в соответствии с п. 3.10 d/dt = d/dt + (q). Таким образом,

-{QcT)-w,-;/{KT)]dx=0,

а поскольку этот интеграл имеет место для произвольного объема, то, следовательно,

-(ест) = ш,-ьу(ад-

Это уравнение вместе с уравнением движения и уравнением неразрывности служит для определения трех величин р, q, Т, которые характеризуют общее движение вязкой несжимаемой жидкости. В случае газа н )бходимо еще принимать во внимание уравнение состояния, связывающее давление, плотность и энтропию.

19.31. Течение между двумя параллельными пластинками. Рассмотрим несжимаемую жидкость, которая вынуждена под действием давления двигаться между двумя неподвижными параллельными пластинками, находящимися на расстоянии Л одна от другой (рис. 335).

Будем считать, что одна пластинка расположена в плоскости х, у, а другая - в плоскости 2.= Л.

Предположим сначала, что дви- t жение происходит только в направ- л Ленин оси X, поэтому в выражении * для скорости

q = iu-r iv+kw

составляющие v = О к w = 0. Уравнение неразрывности при этом имеет вид ди/дх = О, значит, и не зависит от х. Если движение является установившимся, то и есть функция только от г и не зависит от времени. Следовательно, уравнения движения будут таковы:

Рис. 335.

п др , д^и

ду дг-

Таким образом, величина Р = - др/дх не зависит от х, у, г; следовательно, решение имеет вид

где А и 5 -постоянные, которые надо определить из граничных условий.

Поскольку ы = 0 при 2 = 0 и г = Л, то получим окончательно, что

и=2(Л-2) Р.

Среднее значение и по сечению, перпендикулярному к х, равно

Значит, и = 6uoZ (h - z) t, а скорость посередине между пластинками равна 3uo/2.

Скорость по сечению между пластинками будет меняться по спарабо-лическому закону . Если из каждой точки иа линии, параллельной оси Ог, отложить вектор скорости, то концы этих векторов будут лежать на одной параболе (см. рис. 1).

Рассматриваемое движение является вихревым; вихрь здесь равен

, ди бир (Н - 2г) дг ~ л5

Благодаря вязкости на жидкость со стороны верхней пластинки будет действовать следующая сила:

2ц(пу)я-1-цпхг=2ц-Я+цкх£=1ц^= -61цыо/Л.

Таким образом, со стороны жидкости на каждую пластинку будет действовать сила, направленная вдоль по потоку. Величина силы, отнесенная к единице площади, равна 6yiujh.

Скорость диссипации энергии на единицу объема жидкости при этом будет равна

аС =Ц-36ыо*(Л-22) /Л*.

Значит, если рассматривать столбик жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой h, то скорость диссипации иа единицу площади пластинки будет равна

J nC*dz = 12iu o i.

о

Для определения притока тепла в единицу времени сделаем допущение, что на каждой пластинке поддерживается одинаковая постоянная температура То. Тогда дТ/дх=0 и по п. 19.22 получим

0 = цС 4-/Су 7=,*С* + К^.

Предположим, что коэффициент вязкости ц не зависит от распределения температуры в жидкости (что будет почти верно в случае, когда пластинки расположены близко друг от друга). В этом случае решение этого уравнения имеет вид

КТ= -{h-2zy + Az + B. Поскольку Т=То при 2=0 и 2 = л, то будем иметь К(Т-То) = (Л* - (Л - 2z)*J.

Предположим теперь, что течение является двумерным, т. е. всюду а;=0. Будем считать, что пластинки расположены очень близко друг к другу. Тогда составляющие скорости ц и w будут изменяться от своих максимальных значений посередине между пластинками до нуля на очень коротком расстоянии h/2. Следовательно, производные этих составляющих в направлении z должны быть очень большими по сравнению с их производными в направлениях х я у. Если пренебречь этими последними производными, то уравнение движения примет вид

* дх * ду & V dz2 дг

Отсюда dp/dz = 0, и, значит, р является функцией только от х и у. Итак,

а'ц др дЬ] др

дг ~ дх дг~д^

и мы получим решения в том же виде, что и выше:

6u{z-h) борг (г-ft)

AS > о- л1 >

где Uo и Vo являются, как и ранее, средними значениями и и и. Следовательно,

дх ~ hi ду hi О'

и, значит, величины Uo и можно рассматривать как составляющие скорости плоского движения невязкой несжимаемой жидкости с потенциалом

Если в области между пластинками поместить некоторый цилиндр высотой Л, то течение на плоскости, проходящей посередине между пластинками, будет при этом таким же, как течение невязкой жидкости, обтекающей цилиндр такого же поперечного сечения. Надо оговориться, однако, что эта аналогия нарушается на расстояниях от тела, сравнимых с величиной Л. Но поскольку размер h можно брать таким малым, каким мы пожелаем, то это ограничение является несущественным. Это обстоятельство позволило Хел-Шоу и другим исследователям получить прекрасные экспериментальные картины плоского течения идеальной несжимаемой жидкости с помощью впрыскивания в поток красящего вещества, позволяющего обнаруживать линии тока.

19.32. Течение в трубе. Пусть вязкая несжимаемая жидкость находится в установившемся движении в цилиндрической трубе произвольного поперечного сечения, ось которой направлена по оси z. Уравнение неразрывности показывает, что в этом случае скорость не должна зависеть от Z, если только нет составляющих скорости, перпендикулярных к оси трубы. Тогда можно положить

q = k(7,

тде q является функцией только от х я у. Уравнение движения при этом будет иметь вид

Р аЧ f. У^\ 9~ 2ц as-l-bi а* 6* /

Расход жидкости будет равен R = \\ qdxdy, где интеграл берется по всему поперечному сечению трубы.

Для того чтобы вычислить этот интеграл, заметим, что для эллипса, заданного уравнениями х = Я,асо8 0, i/ = A,6sinO, подинтегральная функция будет Л(1-А,2), а площадь между этим эллипсом и эллипсом, соответствующим значению k-\-dK, будет равна 2паЬЫк. Следовательно,

\\(-T-%)dxdy=\2nab4\--)dk = ,

р . Р аЧ с

где S -площадь поперечного сечения трубы.

Обозначим через Р = - др/дг градиент давления вдоль трубы в направлении течения. Этот градиент представляет собой постоянную величину, поскольку д^р/дг = 0. Положив

Я=-{х' + у'), (1)

из последнего уравнения получим

V = 0. (2)

Поскольку на границе = 0, то уравнения (1) и (2) показывают, что ф является функцией тока для невязкой несжимаемой жидкости, которая заполняет цилиндр такого же поперечного сечения, что и рассматриваемая труба, и вращается вокруг его оси с угловой скоростью Р/(2ц). Следовательно, данная задача становится аналогичной задаче, изученной в п. 9.70.

Рассмотрим случай трубы, поперечное сечение которой представляет собой эллипс

согласно п. 9.71, имеем

= 4jr 5162 +const,

так что

л Р (хг уг\ а2Ь2

2ц V, а *V а^+Ь^

Чтобы =0 на эллипсе (3), надо принять

2ц ai+bi

тогда

Отсюда средняя скорость в поперечном сечении будет равна

и, следовательно,

Р аЧ ~ 4(А а2+62

Для трубы, поперечное сечение которой представляет собой круг радиуса с, имеем

л2 \ Рс2 п яс*Р

где / -расстояние от оси трубы.

Если положить b = аа и взять с' = аЬ так, чтобы эллиптическое и круговое сечения трубы имели одинаковую площадь, то отношение расходов через эти сечения будет 2а:(1--а*), причем это отношение меньше единицы. Таким образом, расход вязкой жидкости через трубу кругового сечения больше, чем расход через трубу эллиптического сечения с той же площадью.

Измерение расхода через круговые тру&л доказывает, что предположение о прилипании жидкости на стенке является обоснованным. Действительно, наличие скольжения увеличивало бы расход жидкости на некоторую величину, и это нарушило бы справедливость выведенной выше формулы, показывающей, что расход изменяется как четвертая степень диаметра трубы.

Результаты измерения расхода через трубу позволяют также создать-метод определения коэффициента вязкости р..

19.41. Составляющие напряжения. Пусть Ui, из -некоторые ортогональные координаты. Обозначим составляющие напряжения в направлениях 4, 2 и Ыз на плоскости, перпендикулярной к Л, следующим образом:

Лы1, hUi, hUi.

Тогда в декартовых координатах будем иметь девять составляющих напряжения на плоскостях, перпендикулярных к х, у, z, а именно

XX. ху. xz; ух, уу, уг, zx, zy, zz.

Положив в формуле для напряжения n=i, будем иметь для несжимаемой жидкости

\xx + ixy + kxz=2n{\)q + ni х ? -pi =

= 2ц {Iq, + \qy + kq,) + ц (- jS, + Ку) - pl

и, таким образом.

Отсюда следует, что ху = ух, xz=zx, yz=zy, так что девять составляющих напряжения фактически сводятся к шести составляющим, а именно

к XX, уу, zz; ху, yz, zx.

Этот результат можно также получить, рассматривая бесконечно малый параллелепипед и приравнивая нулю моменты напряжений относительно линий, проходящих через центр параллелепипеда и параллельных его

ребрам ). Этим же способом можно показать, что полученный выше результат справедлив для любой системы координат.

В более общем случае для любой ортогональной системы координат <см. п. 2.72) имеем

i,ui i + iiiui 2-bi3ui 3= - pii + 2i(iiV)q4-n(iiX S). Но по формуле (IV) из п. 2.34

2 (чУ) q -bit X S = У (ixq) - У X (i. Х q)- q X (У Х h)- q (У i,) -Ь i, (Vq).

a iiq=9i, iiXq = - ija 4-!з<7г. Отсюда с помощью способа, примененного в п. 2.27, получим последовательно

, 4 du2 диз J

qx (У X 1,)- -li (ir-dlir + MalJJrJ +MTaUT

1зЯ1 dhi

/lifts 3

duj J

Тогда, отбрасывая взаимно уничтожающиеся члены, будем иметь

ESL .l -l Яз. dhi

dui hz duz л3 3 J

1 a<72 , 1 5<7i

L hi dui 1 5,3

hz duz 1 591

<l2 dhz

<7i

Aift2 1 93 dh3

dhi -

A1A2 duz qi dhi

hi dui Лз dus hifts dui hihj dug J

Непосредственно можно выписать и остальные составляющие напряжения. Из вышеприведенных соотношений видно, что UiU2 = uu iU3= 9 i, так как эти соотношения не меняют своего вида при перестановке индексов.

В случае цилиндрических координат (см. п. 2.72) Ui = x, 2 = 00, 3=00 получим, что Л, = I, Аг = 1, Лз = ш и

хх= -р + 2ц

0X0= -p + 2ii-, дш

2ц fdOa

(iXO

0) ч

(D(D= )i

JCtO= i

~ Ш

dq,.

дш Г 90.

1 d9.

L dx г dq~

Ш da dqx

Составляющие напряжения в сферической системе координат приведены в примере 20 в конце главы.

Вышеуказанные формулы применимы только для несжимаемой жидкости. Для сжимаемого газа, как показывает уравнение (5) п. 19.02, вели-

1) Полученный результат носнт название теоремы взаимности и является одним из фундаментальных результатов механики сплошных сред. См. подробнее в приложении.- JlpuM. ped.