Определим число путем подстановки je = t9 в ряд для показательной функции

e* = I+JC + -g-f-+.--,

отсюда следует, что Кроме того,

d (cos е+ sin 6) Q .рз Q i (COS 9 + i sin 9).

Таким образом, линейное дифференциальное уравнение

du . Ж =

имеет два решения

1 = е*®. U2 = cos9-btsin9,

каждое из которых обращается в единицу при 9 = 0. Следовательно, эти решения тождественны. Таким образом,

e =::cos9 + /sin9. (1)

Поэтому комплексное число z - x-\-iy можно выразить в форме

Z = / cos 9 + ir sin 9 = re,

где г, в -полярные координаты точки (х, у) (рис. 80).

В этих обозначениях г = (х* +t/*)Vi называется модулем комплексного числа г, что можно записать в виде

r = \z\.

Модуль комплексного числа измеряет расстояние изображающей точки от начала координат. Таким образом, он является существенно положительной величиной. Важно отметить, что \е^\ = \, если 9-действительная величина. Это сразу же следует из формулы (1).

Угол 9 называется аргументом комплексной величины г. Следовательно,

arg2 = 9.

Кроме того, если Zirei, Zt = ri, то ZiZj = rirjei+e). Следовательно,

arg(z,22) = arg2i-bargz,.

При использовании этого результата важно помнить, что argz = 9 определяется с точностью до числа, кратного 2л, так как

gi(e+2n) gie g2.-4

н

g2ai cos 2я -j- i sin 2л = 1.

Отметим также, что

e* = cosn--/sinn= - 1,

Таким образом.

gin/2 = cos Я -i- / sin у Я = /.

arg( -1) = я, aгg(0 = 4-л.

5.14. Сопряженные комплексные числа. Если в выражении, содержащем /, изменить знак перед /, то говорят, что полученное выражение является компмкст сопряженным относительно первоначального выражения.

Таким образом, если

z = x-\-iy = re, то сопряженное число имеет вид

z = x-iy = re-.

Будем обозначать сопряженное число с помощью черты надпервоначаль-

ным числом. Заметим, что сопряженным числом для числа г является г

и что числа 2 и Z имеют одинаковые модули.

Из вышесказанного следует, что

z + z = 2x, z-z = 2iy,

zz = x*+y = r.

Таким образом, можно сформулировать следующие важные теоремы.

(1) Сумма двух сопряженных комплексных чисел есть действительное число.

(2) Разность двух сопряженных комплексных чисел есть чисто мнимое число {т. е. его действительная часть равна нулю).

(3) Произведение двух сопряженных комплексных чисел есть действительное число, равное квадрату их модулей.

(4) Если комплексное число z равно сопряженному числу г, то г - число действительное [это следует из теоремы (2)].

Если / (2)- функция от Z, то сопряженную комплексную функцию обозначим через 7 (г). Таким образом, если / (z) = 6z--3/z*, то f{z) = 6z - 3iz*; заменяя здесь z на z, получим / (z) = 62 -3tz.

5.15. Число, обратное комплексному числу. Если г - re, то число, обратное z, равно

Рис. 82.

.-*в

Чтобы представить число z и обратное ему число на векторной диаграмме, проведем круг единичного радиуса с центром в точке О.

Пусть Р - изображающая точка комплексного числа z и пусть на отрезке ОР взята точка Q, такая, что

OQ-OP= 1.

(Точка Q называется инверсией точки Р относительно окружности.) Тогда точка Q с координатой 1/г является отражением точки Q относительно оси X (рис. 82).

5.16. Векторные свойства комплексных чисел. Мы уже видели, что комплексные числа подчиняются векторному закону сложения, если их представить на векторной диаграмме. Пусть Pi и Рг являются изображающими точками комплексных чисел Zi и гг. Тогда для выполнения операции

сложения мы можем отождествить векторы ОРу и ОРг с числами Z\ и в том смысле, что если

01 = 21, ОРг = гг,

OPi + OPj-Zi + Zj.

С другой стороны, скалярное произведение невозможно представить в виде Zi-Zj. Однако мы можем заметить, что

Zi 2, = (jci + iyi) {Xi - iyt) = XiXt + у1Уг-i {хц/г - jt/i) = = 0Pr6Pt-i\6PiydPt\-Следовательно, мы получили следующие важные и полезные результаты:

OPi OPt = действительная часть Zi Zg = y (Л + ZiZg),

\dPiX OPt I = действительная часть izi Zt = i (ziZj - ZiZ2)

Например, момент относительно начала координат комплексной силы F - X + iV, действующей на точку г, является действительной частью от izF, т. е. от iz{X - iY).

5.17. Поворот координатных осей. Если мы хотим перейти от осей Ох, Оу к осям Ох, Оу, где ось Qx образует угол а с осью Ох, то мы можем записать (рис. 83)

х' + iy = z = ref = ree-o) = 2е-*

и

Z = ze* .

Если, кроме того, перенесем начало координат в точку Zo (относительно Ох, Оу), то получим равенства

Z=Zo + Ze* , 2 = (z-Zo)

5.20. Логарифмы. Пусть

Z = jc + /у = ге.

Тогда

In Z = )п/ +/е = i-In (д: + *) + / arctg-J .

Таким образом, действительная часть Inz есть In г, или 1/2 In (л* + у*) Мнимая часть Inz равна 0, или arctgy/jc.

Важно отметить, что 0 определяется с точностью до целого числа, кратного 2л, так как добавление 2я к 0 не изменяет положения точки (г. в).

Таким образом, если мы опишем окружность радиуса г с центром в точке О и, начиная от точки -4, обойдем один раз окружность против часовой стрелки (в положительном направлении), то по возвращении в точку А аргумент увеличится

на 2л в предположении, что он изменяется непрерывно. Если мы обойдем окружность еще раз, то аргумент снова увеличится на 2л.

Таким образом, аргумент зависит не только от точки А, но и от истории нашего движения при достижении этой точки. Те же рассуждения применимы, если мы движемся от точки А к А по любой кривой, окружающей начало координат.

Следовательно, мнимая часть от Inz может иметь значения в, в--2я, 0 + 4я.....

или

0, 9 -2я, 9-4я.....

5.21. Действительная и мнимая части. Для функции от комплексного числа z - x + iy часто требуется отделить действительную и мнимую части. Мы видели, что

In Z = i- In (jc* + y) + i arctg . Следовательно, если X, У- действительные функции, то

In {X + /У) = 1 In (X* + У*) + / arctg . Кроме того, по теореме Эйлера (5.13) имеем

cos0= Y . sin0= / . Заменяя 9 на /а, получаем

cos/a =-2-, sin/a=-2 ( -e- ).

Гиперболические функции cha, sha определяются формулами cha= Y sha=(e -e- ),

так что

ch 9 = cos /9, sin /9 = / sh 9.

sin 2 = sin ДС cos iy + cos x sin iy = sin jc ch (/ + i cos дс sh , cos 2 = cos X ch у - / sin x sh y. Подобным образом получаем

ch 2 = cos (iz) = cos (ix - y)=schxcosy + i sh x sin y, sh 2 = sh X cos у + / ch x sin y.

5.30. Определение аналитической функции от г. Пусть <р = <р(х, j/) и ф=ф(х, у) - какие-либо функции от х и у. Тогда комбинация ф-Ь'Ф является функцией комплексного переменного 2=x-f/у в том смысле, что данному 2 (т. е. X и ) соответствует одно или более значений ф-Ь/ф. Это понятие является слишком общим для его применения. Поэтому мы ограничимся рассмотрением класса аналитических функций, которые мы ниже определим.

Простой дугой называется дуга, которая сама себя не пересекает и является спрямляемой, т. е. имеет определенную длину. Простой замк-

нутой кривой называется замкнутая кривая, которая делится любой парой точек на две простые дуги.

Пусть задана простая замкнутая кривая (или контур) С в плоскости г и функция /(z) (рис. 84). Говорят, что функция /(г) является аналитической внутри контура С, если она удовлетворяет следующим условиям.

а) Каждому значению г внутри С соответствует одно и только одно значение f{z), и это значение конечно (т. е. модуль этой функции не бесконечен). Короче, /(z) - конечная и однозначная функция внутри С.

б) Для каждого значения z внутри С функция имеет однозначную конечную производную по z.

Исследуем условие б).

Так как je=V (z + z), У=-Va (z -2), то любая функция от х и является функцией от 2 и 2. Например, если ф(х, у) и ф(х, )-заданные функции, то

Ф(*. У) + *Ф(*, y) = f{2. 2).

Р н с. 84.

С другой стороны.

Следовательно,

df df ,df С ,. dz \

Но выражение

..... lim 5£== lim 1

Л|- 0 ° ex, ir*0 < *+**J ex, etM)

является неопределенным, так как бдс и Ьу могут стремиться к нулю независимо друг от друга.

Следовательно, определенная производная может существовать только в том случае, если df/dz - 0.

Таким образом, аналитическая функщя комплексного переменного г не должна зависеть от z, т. е. df/dz = 0.

Предположим теперь, что / = ф (х, у) + <ф (х, у) = ф + /ф и что df/ = 0; так как

д'г дхг дУдг

x = \{z-\-z), y=--i{z-~z).

то мы имеем

dx~dy

Лр

находим уравнения

дх* ду* ~ дх* ду*

Таким образом, если VJ = 5*/ддс*--д*/д /* -двумерная форма оператора Лапласа, то видим, что сопряженные функции являются решениями уравнения Vjl=0.

Если приравнять сопряженные функции постоянным величинам, например ф(дс, у) = с ф(дс, у) = С2, то получим две системы кривых. Эти кривые оказываются ортогональными, т. е. их касательные в каждой точке пересечения расположены под прямыми углами. Для доказательства заметим, что dy/dx для кривой ф (дс, у) = Ci определяется из уравнения

j = n

дх ду dx

Таким образом, = - / Для кривой ф (дс, у) = с, получим =

~ дх / ду

Из уравнений (1) видно, что произведение этих величин равно -1, и, следовательно, касательные к обеим кривым перпендикулярны (рис. 85). Приведем другое доказательство. Имеем

f {z)dz = d((> + idMp.

1) В советской литературе эт.1 условия иногда называются условиями Даламбера - Эйлера -/7рил. ред.

Эти условия известны как уравнения Коши -Рнмана). Они являются необходимыми, но недостаточными. Дсхгтаточные условия получаются путем добавления к уравнениям (1) следующих условий:

Все частные производные dff/dx, dff/dy, drlp/dx, dldy должны

быть непрерывными. (2)

Таким образом, условие df/dz=0 вместе с условием (2) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы функция f (г) была аналитической функцией.

Очевидными примерами аналитических функций являются функции sinz, е , z--5z* -3, (1+z)/(l - г*). В последнем случае надо исключить точки, в которых z=l. С другой стороны, z не является аналитической

функцией г, так как \г\ = Угг и, следовательно, содержит г.

5.31. Сопряженные функции. Действительная и мнимая части аналитической функции от z называются сопряженными функциями. Таким образом, если

/ (z) = ф (ДС, у) + /ф {X, у) = Ф + /ф,

то ф и ф -сопряженные функции. Например, функция

г = (хз - Ъху^) + i (Зх*у - у )

дает сопряженные функции дс* -Здсу* и Здс*у -у^. Согласно условиям Коши -Римана из п. 5.30,

йф dtf йф дф ,..

Следовательно,

(arg d/)v=const = 4 + (g df)t,nst.

так что элементы дуг кривых ф= const и г|>= const перпендикулярны друг другу.

Следовательно, кривые ф = С1 и i)=C2, проведенные для малых интервалов изменения постоянных ci, с^, делят плоскость на бесконечно малые прямоугольники, причем ие все они имеют одинаковые размеры.

Р н с. 85.

Р и с. 86.

Для иллюстрации рассмотрим сопряженные функции, определяемые формулой ф-Ь/ф=1п2. Функция In2 являвтся неаналитической внутри любой кривой, окружающей начало координат, так как при движении вокруг начала координат в положительном направлении arg 2 увеличивается на 2п и, следовательно. In 2 увеличивается на 2ni, так что функция In 2 неоднозначная. Если / (г) -аналитическая функция, то она должна быть непрерывна и однозначна в рассматриваемой области. Этого можно достичь введением дополнительных ограничений. Исключим начало координат, проведя вокруг него окружность малого радиуса е, и сделаем разрез вдоль положительной части действительной оси; таким образом, точка Z может двигаться вне проведенной окружности любым путем, но не пересекая положительной части действительной оси (рис. 86). Для определения логарифма условимся, что In 2=/я, если 2= -1. Тогда получаем

Ф= 2 1п(х -Ы,*). ф=arctg().

Рис. 87.

где arctgi/Д может теперь принимать только значения от О до 2я, но не другие. Кривые ф=С1 представляют собой окружности с центром в начале координат, кривые ф=Сг -прямые линии, идущие по радиусам из начала координат.

Полученное семейство линий показано на рис. 87.

5.32. О связи сопряженных функций с /(г). Данная аналитическая функция / (2) может быть записана в форме

/(2)=/(х-Ь/1/) = Ф(*, y) + i{x. /) = Ф-Н'ф.

Тогда получим

2 = дс-Ь1>, z = x-iy.

ддг аг д*а2 * 2 дг *

ду дгдудгду \дг gi J Таким образом, мы имеем следующую эквивалентность операторов:

Следовательно,

d V ,d V /д .d-\/dV , ,дИ-Ч . дЧ diT= (й - д^ АйГ + д7>) = * =

Отсюда следуют соотношения

f-=/;{z). v=/.(zi+Mz),

1) Этот ыетод применим лишь в том случае, если ф и ф - гармонические функции. Рассуждения автора не полны; по этому вопросу см. Л а вре и тьев М. А., Ш а-бат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, М. Л., \9Ъ\. -Прим. ред.

Следовательно, справедливы тождества

f{x + iy)+~f(x-iy) = 2if{x, у), f{x + iy)-J(x-iy) =2 г|)(х. у). Положим * = Vi2, y=-4tiz. Тогда эти тождества дают

/ (Z) = 2ф (12, -112 ) - 7 (0), / (2) = 2.> (12. 4 / i) + 7 (0).

Пусть / (0) = а + /р и 7 (0) = а - /р. Тогда

2а = f (0) + 7(0) = 2ф (О, 0), 2/Р = / (0) -7(0) = 2/i) (0. 0).

Следовательно, если ф (дс, у) или ф (дс, у) даны), то мы определим f (г) из равенства

П2) = 2ф(42, /2)-ф(0, 0) + lP,

/(2) = 2i(l2, -,-2)-/г|)(0,0) + а.

где Р и а - произвольные действительные константы.

Пример. ф(дс, /) = 8шдссЬ1/-Ь2со5ДС8Ь1/ + - - /* + 4дс1/,

/(2) = 2sinl2-ch(-l/2)+4cOsl2sh(-i/2)-l-2 + y2*-2/Z .

так как ch (Ш) = cos О, sh (j9) = t sin О, то / (z) = sin 2 - 2i sin z + z-2iz. 5.33. Решение уравнения Лапласа. Для решения уравнения

положим

где /i (z) и /г (z) - произвольные функции. Эти соотношения и есть искомое решение. Таким образом, мы видим, что любая аналитическая функция / (г) удовлетворяет уравнению Лапласа и, следовательно, она является общим непрерывным решением, содержащим только z. Наиболее общее действительное решение таково: V = f {z) + f (z).

Сопряженные функции, которые приводят к функции / (z), также должны быть решениями уравнения Лапласа, поскольку действительная и мнимая части / (z) каждая по отдельности должны удовлетворять уравнению. Это соответствует результатам, уже полученным в п. 5.31. Решения уравнения Лапласа часто называют гармоническими функциями. Таким образом, сопряженные функции являются также гармоническими функциями.

5.40. Направление обхода контура. При вычислении интеграла по контуру С можно обходить контур в любом из двух направлений: по часовой стрелке или против часовой стрелки. Условимся называть направление обхода контура положительным, если при обходе контура ограничиваемая им область L остается слева (область L на рис. 88).

На рис. 88 показано положительное направление обхода для случая, когда ограничиваемая область является внутренней по отношению к контуру, и для случая, когда она является внешней. Значения интегралов, полученные в этих двух случаях, отличаются знаками.

Р н с. 88.

5.43. Теорема Стокса в комплексной форме. Если f{z, z) является функцией от z = x + iy, z = x-iy, непрерывной и дифференцируемой в области S, ограниченной контуром С, то

\ f{z, z)dz = 2i{ d5,

(С) (S)

5f(z, z)dz=-2/J §dS.

(1) (2)

Доказательство. По теореме Стокса, примененной к плоскому контуру С, ограничивающему плоскую область S, имеем

5 fdr=l (kxV)/dS=kxJ (l+j)dS.

Но dr=idx+ldy=(dx + idy)i=dz\, так как j = kxl=il. Следовательно, отбрасывая множитель I и используя формулы п. 5.33, получаем

(С). (S)

Формула (2) получается путем перехода к комплексным сопряженным величинам и путем замены / на }.

1) Это означает, что контур С и его внутренняя об.аасть целиком лежат внутри большего контура, в котором функция аналитическая.

Следствие. Положим в формуле (I) f = u - iv. Тогда, приравнивая действительную и мнимую части, получаем важные соотношения

5.50. Интегральная теорема Коши. Пусть С -простой замкнутый контур, так что функция /(г) аналитнчна в каждой точке С и внутри С). Тогда имеем

[f(z)dz = 0.

Это равенство выражает интегральную теорему Коши. Доказательство. Поскольку функция f(z) аналитическая, ее производная df/dz=0.

Следовательно, из формулы (1) п. 5.43 получаем

f{z)dz = 0.

Данное здесь доказательство основывается на предположении, отмеченном в п. 5.30, о том, что удовлетворены достаточные условия аналитичности. Полное доказательство было бы весьма длинным и сложным, однако принятые здесь допущения обычно удовлетворяются в приложениях.

5.51. Теорема Морера. Эта теорема является обратной для интегральной теоремы Коши, и она устанавливает тот факт, что если

[f(z)dz = 0

для всякого простого замкнутого контура внутри области R, то / (г) - аналитическая функция в этой области.

Доказательство. Из формулы (1) п. 5.43 получаем

где S -область, ограниченная контуром R. Так как эта область произвольна и лежит внутри R, то должно быть выполнено равенство

так что f (г) - аналитическая функция от z.

Указанное здесь доказательство требует значительного дополнения, чтобы стать вполне удовлетворительным. Полное доказательство этой теоремы читатель найдет в курсах анализа.

5.52. Аналитическое продолжение. Пусть Ri и /?г -две области, разделенные линией S, и пусть функции Л (г) и /2(2), определенные в каждой из них, являются аналитическими и такими, что

/,(г) = А(2) на S.